Jan van de Craats


photo

Adres:
Universiteit van Amsterdam
Faculteit der Natuurwetenschappen,
Wiskunde en Informatica
Korteweg-de Vries Instituut

Science Park 904
1098 XH AMSTERDAM

Postadres:
Postbus 94248
1090 GE AMSTERDAM

e-mail: J.vandeCraats"at"uva.nl

tel. (vrijdags): 020-5258209



Klik hier
om de scholierensite
te bezoeken van het
Korteweg-De Vries Instituut
voor wiskunde van de
Universiteit van Amsterdam.



Muziek-links:

Een kleine verzameling van mijn favoriete (klassieke) muziek-links vind je hier. De lijst wordt van tijd tot tijd aangevuld en bijgewerkt. Commentaar kun je sturen naar het bovenstaande e-mailadres.
Inhoudsopgave van deze website:

NIEUW: PPON 2011 rekenen is verschenen

NIEUW: Studiesteun bij Basisboek wiskunde

NIEUW: Rekentoetswijzer 3S

NIEUW: Rekenexamens in het voortgezet onderwijs

NOUVEAUTÉ: MATHS ! (Traduction française du Basisboek wiskunde)

NEU: Grundwissen Mathematik (Deutsche Übersetzung des Basisboek wiskunde)

NEW: Symmetric spherical and planar patterns (survey article)

NIEUW: WolframAlpha gratis wiskundepakket op internet

Rekenonderwijs:

Reken zeker een nieuwe rekenmethode voor de basisschool

Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen
(Zwartboek rekenonderwijs)

Snel de tafelproducten leren

Wie is er bang voor breuken? (een rekencursus in vier lessen)

Ben Wilbrink over realistisch rekenen

Kennisbasis rekenen en wiskunde voor de pabo
(voorstel van de Stichting Goed Rekenonderwijs)

BON-Rekenhulp voor ouders en anderen (oefen- en achtergrondsite over rekenen)
De gelukkige rekenklas (nieuw boek over het rekenonderwijs)
Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen (artikelen en lezingen)
BON-Rekenconferentie 22 november 2008 (presentatieslides)
Stichting Goed Rekenonderwijs (website en manifest)
Rekenen een ramp? (lezing voor de LBRT, 29 maart 2008)
TIMSS 2007: Feiten en meningen (artikel)
Wat is er mis met ons rekenonderwijs? (artikel)

"Daarbij moet het koppie gewoon zijn werk doen"
(lezing tijdens het BON-symposium 31 maart 2012)

Goed rekenonderwijs
(lezing voor de Stichting Openbaar Onderwijs Marenland, 18 januari 2013)

Rekenmachines op de basisschool?
(korte voordracht tijdens een themamiddag van de NVORWO)

Why Daan and Sanne can't add Kolloquiumsvortrag Universität zu Köln, June 8, 2010

SLO-voorstel Tussendoelen wiskunde VO

Basisboek rekenen 2e editie (inhoudsopgave en downloadbare fragmenten)

Wiskundeonderwijs:

Basisboek wiskunde 2e editie (inhoudsopgave en downloadbare fragmenten)

Vervolgboek wiskunde (inhoudsopgave en downloadbare fragmenten)

Complexe getallen voor Wiskunde D (GRATIS internetboek; herziene versie)

Vectoren en Matrices (Epsilon boek)

Kansrekening en statistiek en Wachttijdtheorie (collegedictaten, ook geschikt voor Wiskunde D)

Vlakke euclidische meetkunde: een moderne aanpak
(gastcollege lerarenopleiding TU Delft, 8 januari 2013)

Aansluitingsproblematiek Wiskunde havo/vwo naar hbo/universiteit
Contexten en eindexamens (lezing en artikel)
Beslissingen examenprogramma's wiskunde 2013/2014
(document, open brief Anne van Streun c.s., kanttekeningen bij die open brief, brieven staatssecretaris aan Tweede Kamer, artikel Twee bewogen jaren)
Aansluitingsproblemen wiskunde in Nederland (presentatieslides van een lezing aan de Universiteit Gent, 10 maart 2010)
Mathematics from secondary school to university in The Netherlands Kolloquiumsvortrag Universität Mainz, April 15, 2010
De grafische rekenmachine op school (artikel)
De kern van de wiskunde (bijgewerkte versie)
Resonansgroep wiskunde

Wiskunde en kunst:

Symmetrie in Islamitische ornamentale kunst
Symmetrie op de bol en in het vlak
(artikel in Nieuw Archief voor Wiskunde en lezing NWD)
Eurekalezing NWO Bessensap 2007 (presentatie)
Wiskunde en kunst (lezing Studium generale UU)
De juiste toon (lezing over muziek, toonsystemen en wiskunde)

Diverse boeken en artikelen:

De juiste toon (Zebra boekje)
Chaostheorie (Epsilon boek)
De Nederlandse Wiskunde Olympiade (boek)
De Riemann-hypothese - Een miljoenenprobleem (Epsilon boek)

Mastercourse: Wiskunde in beeld (cursus tekenen en programmeren in PostScript)
Fourier-theorie en complexe getallen (artikel)
Vlakke meetkunde met coördinaten (artikel)
Eenvoud bij tekenen en rekenen (artikel)
Open problemen in Pythagoras (artikelen)
De meetkunde van de derdegraadsvergelijking (college-presentatie)
Babylonisch rekenen (artikel)

WolframAlpha gratis op het internet

Nog steeds worden leerlingen op havo en vwo verplicht om voor de wiskundelessen een grafische rekenmachine aan te schaffen. Zo'n apparaat is duur, zeer beperkt in zijn mogelijkheden en verre van gebruiksvriendelijk. Buiten havo en vwo worden grafische rekenmachines nergens gebruikt.

Wordt het niet tijd om de grafische rekenmachine de deur uit te doen en over te stappen op gratis software die op het internet beschikbaar is? Software waarvoor je alleen maar een browser nodig hebt, die echt gebruiksvriendelijk is, en die resultaten geeft die ook op het punt van lay-out, typografie en grafische mogelijkheden superieur zijn? Surf naar de site van WolframAlpha en lees hier meer over de mogelijkheden van modern ICT-gebruik in de wiskundeles.

Terug naar inhoudsopgave

Tussendoelen wiskunde voortgezet onderwijs

In het kader van het Actieplan Beter Presteren heeft het ministerie van OCW aan SLO de opdracht gegeven om tussendoelen voor de kernvakken Nederlands, wiskunde en Engels te ontwikkelen en te valideren voor het eind van de onderbouw (2 vmbo en 3 havo-vwo). De tussendoelen zullen als basis worden gebruikt voor de diagnostische tussentijdse toets die onder verantwoordelijkheid van het College voor Examens ontwikkeld zal worden en vanaf schooljaar 2014-2015 op scholen zal worden afgenomen.

Op 12 december 2011 vond over de SLO-voorstellen een expertmeeting plaats. Met het oog op deze bijeenkomst heb ik een commentaar geschreven op de voorstellen voor wiskunde vmbo en wiskunde havo-vwo. Ik uit daarin ernstige kritiek op de opbouw van die voorstellen. Daarnaast heb ik veel detailkritiek.

Hieronder staan die voorstellen:

SLO-voorstel tussendoelen wiskunde havo-vwo
SLO-voorstel tussendoelen wiskunde vmbo

Mijn commentaar kan hier worden gelezen. Ik verwijs daarin ook naar mijn document De kern van de wiskunde.

Terug naar inhoudsopgave

Rekenexamens voortgezet onderwijs

Alle leerlingen in het voortgezet onderwijs dienen met ingang van 2013/14 als onderdeel van hun eindexamen een rekentoets af te leggen. De Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen van 2010 zegt hier onder andere over: "De eindexamens omvatten een rekentoets. Bij de vaststelling van de opgaven van de rekentoets worden de referentieniveaus rekenen in acht genomen die voor de desbetreffende schoolsoorten of voor dan wel binnen leerwegen zijn vastgesteld." De rekentoets voor vmbo heeft betrekking op referentieniveau 2F en voor havo en vwo op referentieniveau 3F.

Op 12 april 2011 heeft een Expertmeeting plaatsgevonden waarop een Rekentoetswijzercommissie conceptvoorstellen heeft gepresenteerd voor Rekentoetswijzers en Voorbeeldexamens. De Uitnodigingsbrief voor deze meeting geeft hierover meer informatie. Lees hieronder de definitieve tekst van de Rekentoetswijzers:

Rekentoetswijzer2F
Rekentoetswijzer3F

Een Servicedocument bij de rekentoetswijzers 2F en 3F voor het voortgezet onderwijs is hier te vinden. In dit servicedocument zijn ook voorbeeldtoetsen 2F en 3F opgenomen.

Opvallende kenmerken van de rekentoetswijzers en de voorbeeldexamens zijn:

  • Ten hoogste 20 procent van de scorepunten bij de examens heeft betrekking op vragen die zonder rekenmachine gemaakt moeten worden. Dit, terwijl in de behandeling van de Wet in de Tweede Kamer op 31 maart 2010 zowel de minister als een van de kamerfracties gesteld hebben dat rekenexamens zonder rekenmachine moeten worden afgenomen. Zie in dit verband de Handelingen van de Tweede Kamer, waaruit relevante passages geciteerd worden in de blog van Ben Wilbrink op het forum van de vereniging Beter Onderwijs Nederland (die blog bevat ook een link naar de volledige tekst van de Handelingen).
  • De opgaven die zonder rekenmachine moeten worden opgelost, zijn allemaal op het niveau van hoogstens groep 7 van de basisschool. Bovendien zijn ze zo ontworpen, dat ze allemaal opgelost kunnen worden met `handig rekenen'. De beheersing van standaardrekenmethodes (een van de kerndoelen van het basisonderwijs) wordt dus niet getoetst. Integendeel, de misvatting bij veel leerlingen en docenten dat elke rekenopgave op een `handige' manier kan worden opgelost, wordt er juist door bevorderd.
  • De nadruk in de examens ligt op "contextopgaven". Dit is voor eindexamenkandidaten havo en vwo, die allemaal (als het vwo-leerlingen zijn), of bijna allemaal (als het havo-leerlingen zijn), eindexamen wiskunde doen volstrekt overbodig. Een dergelijke examinering dient voor deze leerlingen geen enkel doel.
  • De problemen op rekengebied die gevoeld worden in het hoger onderwijs (hbo en universiteit) en in het bedrijfsleven hebben vrijwel uitsluitend betrekking op een gebrek aan rekenvaardigheid. Studenten en jonge werknemers beheersen onvoldoende elementaire kennis en vaardigheden, zoals de tafelproducten, de standaardrecepten voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en de regels voor het rekenen met breuken. De voorgestelde examens gaan hieraan geheel voorbij.

Opvallend is verder dat de rekentoetswijzercommissie voor de havo- en vwo-rekenexamens geen vertegenwoordigers bevatte van studenten en docenten uit het hoger onderwijs terwijl zij toch degenen zijn die dagelijks geconfronteerd worden met de rekenproblematiek. Er zullen nu waarschijnlijk examens komen die de problematiek alleen maar kunnen verergeren.

Op 14 april 2011 en op 25 april 2011 heb ik in e-mails mijn zorgen over deze ontwikkelingen kenbaar gemaakt aan de Rekentoetswijzercommissie. Lees hier de tekst van die e-mails.

In een aparte blog op de BON-site besteedt Ben Wilbrink aandacht aan de toetsproblematiek taal en rekenen, zie hier.

Zie voor meer informatie over de rekenexamens de site van het Steunpunt Taal en Rekenen VO.

Commentaar Henk Pfaltgraff op voorbeeldexamen 3F

Henk Pfaltzgraff heeft een uitgebreid commentaar geschreven op een eerdere versie van het voorbeeldexamen 3F. Lees dat commentaar hier.

"Daarbij moet het koppie gewoon zijn werk doen"

Tijdens het BON-symposium "Wat zijn onze diploma's waard?" op 31 maart 2012 heb ik een voordracht gehouden waarin ik ook de problematiek rond de rekentoetsen aan de orde heb gesteld. Klik hier om de presentatieslides van die voordracht te zien (pdf).

Rekentoetswijzer 3S

De door het ministerie van Onderwijs Cultuur en Wetenschap ingestelde Rekentoetswijzercommissie 3S heeft op 30 november 2012 haar Rekentoetswijzer 3S aangeboden aan staatssecretaris Dekker van OCW. Daaraan heeft de commissie een afzonderlijk document toegevoegd dat een verslag bevat van de veldraadplegingsbijeenkomst op 8 oktober 2012 in Amersfoort, alsmede een compilatie van alle e-mailreacties op de eerder gepubliceerde conceptrekentoetswijzer 3S.
Hieronder kunnen de rekentoetswijzer en het verslag van de veldraadpleging worden ingezien en gedownload. Deze documenten zijn ook op de site van de SLO gepubliceerd.

Rekentoetswijzer 3S (pdf)

Verslag Veldraadpleging (pdf)

Los van de conceptrekentoetswijzer is door de commissie destijds ook een afzonderlijk servicedocument gepubliceerd dat voorbeelduitwerkingen bevat van alle opgaven uit hoofdstuk 4 en de contextopgaven uit hoofdstuk 5 van de conceptrekentoetswijzer. De voorbeelduitwerkingen geven een indicatie hoe dergelijke opgaven kunnen worden aangepakt. Vaak zijn echter ook andere uitwerkingen mogelijk. Let wel: bij de rekentoets 3S zelf zullen van de opgaven alleen de antwoorden worden gevraagd.

Voorbeelduitwerkingen (servicedocument, pdf)

Tijdens de in september/oktober 2012 door het Steunpunt Taal en Rekenen georganiseerde flitsbijeenkomsten over de pilot-rekentoetsen heb ik een korte voordracht gehouden over de conceptrekentoetswijzer 3S. Klik hier om de presentatieslides hiervan te zien (pdf).

Brief staatssecretaris Dekker

Op 12 februari 2013 heeft staatssecretaris Sander Dekker per brief de rekentoetswijzercommissie 3S bedankt voor de verrichte werkzaamheden. In die brief staat ook dat hij het College voor Examens verzocht heeft pilottoetsen te organiseren gebaseerd op de voorgestelde rekentoetswijzer 3S met het oog op besluitvorming medio 2014. Lees hier de brief van de staatssecretaris.

Rekencongres Noordhoff Uitgevers

Op 3 april 2013 heb ik tijdens een rekencongres van Noordhoff Uitgevers een workshop geleid over de rekentoets 3S. De presentatieslides (pdf) hiervan zijn hier te zien en te downloaden.

Terug naar inhoudsopgave

Ben Wilbrink over `realistisch rekenen'


Ben Wilbrink is psycholoog en toetsdeskundige. Op het forum van de vereniging Beter Onderwijs Nederland heeft hij antwoorden gezocht op de vraag hoe het gekomen is dat het rekenonderwijs de afgelopen decennia zo dramatisch achteruit is gegaan, en wat daarbij de rol was van Hans Freudenthal en het onder zijn invloed ontwikkelde `realistisch rekenen'.

Daarbij zijn de volgende afleveringen verschenen. Als introductie tot de serie is blog nr. 12 aan te bevelen.

  • 1. Freudenthal 1968: "Vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk"

  • 2. Freudenthal 1984: "Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau."

  • 3. Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden.

  • 4. Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streun

  • 5. Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat?

  • 6. De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010

  • 7. Diagnose rekenproblematiek basisonderwijs, met Harskamp 2007, bijlage A, werkgroep-Van Streun

  • 8. Rekenkundige bewerkingen en rekenmachine bij werkgroep-Van Streun en verder

  • 9. Handig rekenen is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het?

  • 10. Handig rekenen: wortels, evidentie, receptie, naar Uittenbogaard's Juliette en Jonas

  • 11. Waarom de Freudenthal-groep niet onderzoekt of realistisch rekenen wel deugt

  • 12. Overzicht na elf blogs: rekent Nederland nog?

  • 13. Is het realistisch rekenen theoretisch gefundeerd? Begin van de reis langs zijn beginselen

  • 14. Werkblog: Wat hebben rekenonderwijs, rekenproblemen en dyscalculie met elkaar?

  • 15. Coen Teulings: achterblijvende reken- en wiskundevaardigheden gaan ons jaarlijks zes miljard kosten

  • 16. De wet, de rekentoets, het rekenen, en de eindexamens, speciaal havo/vwo

  • 17. Antwoord op de kritische reactie van Victor Schmidt, vz. van de Rekentoetswijzercommissie, op rekenblog 16


Op zijn eigen website houdt Ben Wilbrink verscheidene pagina's bij over rekenen en rekenonderwijs. Ik noem met name:

  • Drogredenen: een pagina over het drogredenen in de rekendiscussie. Aan de orde komen onder andere het valse dilemma tussen `realistisch' en `mechanistisch' rekenen, en het idee dat als er twee ruzie hebben, ze allebei wel een beetje gelijk zullen hebben.

  • MORE: een pagina over het MORE-onderzoek (1993), tot voor kort het enige grootschalige in Nederland uitgevoerde empirische onderzoek naar de effecten van verschillende didactische aanpakken in het rekenonderwijs op de basisschool. Dit onderzoek is onder de aandacht gebracht van de KNAW-rekencommissie door Marisca Milikowski, zie hier.

  • Breuken: een pagina met documentatie over het rekenen met breuken en het verdwijnen ervan uit de `realistische' basisschoolstof, ook in samenhang met het rapport Meijerink.

  • Het maatschappelijk debat: een pagina over het in diverse media gevoerde debat tussen voor- en tegenstanders van `realistisch rekenen'.

  • Proefschrift Marian Hickendorff: Op 25 oktober 2011 is Marian Hickendorff cum laude in Leiden gepromoveerd op een proefschrift over het rekenonderwijs in Nederland. Op deze webpagina bespreekt Ben Wilbrink dit proefschrift.


Terug naar inhoudsopgave

Reken zeker

Een nieuwe rekenmethode voor de basisschool

Noordhoff Uitgevers heeft in 2010 in samenwerking met de Stichting Goed Rekenonderwijs een nieuwe rekenmethode, genaamd Reken zeker, op de markt gebracht voor de groepen 3 tot en met 8 van de basisschool. De hoofdauteurs zijn Piet Terpstra en Arjen de Vries, maar Noordhoff heeft daarnaast een uitgebreid team van redacteuren, docenten, rekendeskundigen en vormgevers ingezet om er een aantrekkelijke eigentijdse methode van te maken. Voor de Stichting Goed Rekenonderwijs hebben Rob Milikowski en Liesbeth van der Plas zitting in de Redactieraad, en verder verlenen de Stichting Wiskunde Kangoeroe, de Technische Universiteit Eindhoven en de Universiteit van Tilburg medewerking aan deze uitgave.

Het lesmateriaal voor de groepen 3 tot en met 8 is klaar. U kunt hier de Algemene toelichting van de methode bekijken. Die geeft een goede indruk van de inhoud en de didactische uitgangspunten van de nieuwe methode. Een handzaam overzicht van alle leerlijnen staat hier. Voor meer details verwijs ik graag naar de site van Reken zeker. Daar kunnen basisscholen ook een zichtzending aanvragen.

Reken zeker op de Panama-conferentie 2011

Op 20 januari 2011 heb ik tijdens de Panama-conferentie een voordracht gegeven over de didactische uitgangspunten van Reken zeker. Klik hier voor de presentatieslides van deze voordracht. De voordracht werd afgesloten met de presentatie van vier leerlijnen: optellen, aftrekken, kommagetallen en breuken.

Voordracht Goed rekenonderwijs

Op 18 januari 2013 heb ik in Huizinge (Groningen) tijdens een onderwijsconferentie, georganiseerd door de Stichting Openbaar Onderwijs Marenland, een voordracht gehouden onder de titel Goed rekenonderwijs. Klik hier om de presentatieslides (pdf) te zien. Zie voor een uitgebreide beschrijving van de methode Reken zeker de slides van de bovenstaande Panama-voordracht.

Terug naar inhoudsopgave

Wie is er bang voor breuken?


Een rekencursus in vier lessen


Iedereen die moeite heeft met breuken kan nu snel en in eigen tempo leren wat breuken zijn en hoe je ermee rekent.

Deze cursus van vier lessen bestaat uit vier pdf-files die elk de vorm hebben van een diaserie die je met de pijltjestoets kunt doorlopen. Je kunt op elk moment weer teruggaan naar vorige dia's, net zolang totdat je alles onder de knie hebt. Je kunt de files ook voor eigen gebruik downloaden.

Houd pen en papier bij de hand en ga vooral veel zelf oefenen. Oefenmateriaal vind je bijvoorbeeld op de BON-rekenhulp site, in het Basisboek rekenen of op de oefen-dvd Breuken van Liesbeth van der Plas.

Laatste update van het cursusmateriaal: 27 oktober 2010 (les 4).

Geschikt oefenmateriaal uit Basisboek rekenen (2e editie):

  • Bij les 1: Hoofdstuk 9, opgaven 9.1 - 9.4
  • Bij les 2: Hoofdstuk 9, opgaven 9.5 - 9.26
  • Bij les 3: Hoofdstuk 10, opgaven 10.1 - 10.12
  • Bij les 4: Hoofdstuk 10, opgaven 10.23 - 10.43, 10.57 - 10.69

Verscheidene malen heb ik voor basisschooldocenten een lezing gegeven over de achtergronden van deze cursus. Klik hier om de presentatieslides van die lezing te zien.

Terug naar inhoudsopgave

BON-Rekenhulp voor ouders en anderen

BON, de vereniging Beter Onderwijs Nederland, heeft een website opgericht met oefenmateriaal en achtergrondinformatie voor het rekenen op de basisschool. Klik hier voor deze website.

Snel de tafelproducten leren

Wie moeite heeft om de tafelproducten te leren, kan daarvoor de hier gegeven vermenigvuldigingstabel gebruiken. Oefen ze elke dag, dan heb je ze binnen een week onder de knie. Daarna bijhouden!

BON-Rekenconferentie

Op 22 november 2008 heeft BON een zeer succesvolle Rekenconferentie voor ouders, basisschooldocenten en andere belangstellenden georganiseerd. Klik hier voor meer informatie en hier voor de presentatieslides van mijn lezing daar.

Terug naar inhoudsopgave

Stichting Goed Rekenonderwijs

Op 18 september 2008 is de Stichting Goed Rekenonderwijs opgericht. Klik hier voor de website van de stichting.

Terug naar inhoudsopgave

Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen (zwartboek)

Mijn artikel Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen en een aantal discussiestukken die ik geschreven heb voor de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (zie hier) heb ik samengevoegd tot een on line brochure, ook weer onder de titel Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen met als ondertitel Zwartboek rekenonderwijs, die hier kan worden ingezien en gedownload.

Inhoudsopgave:
  • Voorwoord
  • 1. Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen
  • 2. De Periodieke Peiling van het OnderwijsNiveau (PPON)
  • 3. Hoofdrekenen als struikelblok
  • 4. Domeinbeschrijving rekenen
  • 5. Opa's rekenrecepten
  • 6. Reacties
  • Boeken, artikelen, rapporten en websites

Terug naar inhoudsopgave


TIMSS 2007: Feiten en meningen

TIMSS staat voor Trends in International Mathematics and Science Study, een periodiek georganiseerd internationaal vergelijkend onderzoek naar prestaties van leerlingen op het gebied van rekenen, wiskunde en de natuurwetenschappen. Het laatste TIMSS onderzoek is gehouden in 2007. Nederland deed daaraan mee met leerlingen van groep 6 van de basisschool.

De uitkomsten van TIMSS 2007 op het gebied rekenen en wiskunde van de Nederlandse deelnemers worden door sommigen gezien als ondersteuning van de stelling dat het Nederlandse rekenonderwijs op de basisschool internationaal gezien van hoog niveau is. Ik ben het daar niet mee eens. Klik hier om een preprint van een artikel te zien waarin ik aantoon dat een dergelijke conclusie niet gerechtvaardigd is. Het is in het septembernummer 2009 van Nieuw Archief voor Wiskunde verschenen.

Terug naar inhoudsopgave


Rekenen een ramp? (lezing)

Tijdens de studieochtend van de Landelijke Beroepsvereniging Remedial Teachers (LBRT) op 29 maart 2008 heb ik een lezing gehouden onder de titel Rekenen een ramp? In die lezing heb ik een aantal onderwerpen uit mijn zwartboek nader belicht. Klik hier om de presentatieslides van die lezing te zien (pdf).

Terug naar inhoudsopgave


Why Daan and Sanne can't add (public lecture)

On June 8, 2010, I presented a lecture at the Seminar für Mathematik und ihre Didaktik of the Universität zu Köln on the mathematics problems in primary schools in The Netherlands. Click here to see the slides of this lecture (pdf).

Op 8 juni 2010 heb ik aan het Seminar für Mathematik und ihre Didaktik van de Universität zu Köln een voordracht gehouden (in het Engels) over de rekenproblematiek in Nederland. Klik hier om de presentatieslides van die lezing te zien (pdf).

Terug naar inhoudsopgave


De gelukkige rekenklas (boek)

pyth Bij uitgeverij Boom is verschenen het boek De gelukkige rekenklas, een bundel opiniestukken over de huidige problematiek in het rekenonderwijs. De redactie van de bundel is in handen van Tom Braams en Marisca Milikowski. Naast de redacteuren hebben ook Jan van de Craats, Rob Milikowski, Pieter van Biervliet, Bas Braams, Sietske Walda, Anke van Campen, Ron Aharoni, Arjen de Vries, Stephan Vermeire en Hugo Bakker bijdragen geleverd.

De gelukkige rekenklas is bedoeld voor allen die met rekenen en rekenmethodes te maken hebben: leerkrachten, onderwijspsychologen, politici, schoolbegeleidingsdiensten, en, natuurlijk, ouders met schoolgaande kinderen.
Zie hier voor bestelmogelijkheden.

Terug naar inhoudsopgave

N.B.: Het artikel, de discussiestukken en de presentaties in dit blok heb ik samengevoegd tot een on line brochure, ook weer onder de titel Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Zie hier. De oorspronkelijke stukken en presentaties (met nuttige links) kunt u hieronder raadplegen.

Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen (artikel)

Tijdens de zgn. Panama-conferentie over de toekomst van het rekenonderwijs heb ik op 18 januari 2007 een voordracht gehouden onder de titel Mythen in de rekendidactiek, of: Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (`Panama' staat voor PAbo NAscholing Mathematische Activiteiten.) Klik hier om de presentatie (pdf-format) te bekijken.

De inhoud van de lezing heb ik uitgewerkt in de vorm van een artikel dat inmiddels verschenen is in Nieuw Archief voor Wiskunde (vijfde serie, deel 8, nummer 2, juni 2007, pp. 132-136). Klik hier om dat artikel (pdf-format) te bekijken. Het is later ook gepubliceerd in het Tijdschrift voor Remedial Teaching (15e jaargang, nummer 5, november 2007, pp. 10-14).

Domeinbeschrijving rekenen

Ten dienste van de door het Ministerie van OCW ingestelde Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen heb ik als lid van die Expertgroep een discussiestuk Rekenvaardigheden op de basisschool opgesteld over de gewenste kennis- en vaardigheidsdoelen rekenen aan het einde van de basisschool. Klik hier om dat stuk te bekijken (pdf-format). Later heb ik dat stuk uitgebreid tot een Domeinbeschrijving rekenen voor het primair en het voortgezet onderwijs. Klik hier om dat uitgebreidere stuk te bekijken (pdf-format).

PPON 2004 en Het Nieuwe Rekenen

In 2004 is in opdracht van het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen het vierde peilingsonderzoek voor rekenen uitgevoerd. Het omvatte onder andere een gedetailleerd onderzoek naar de rekenvaardigheid van leerlingen in jaargroep 8 (einde basisonderwijs). Een verslag hiervan is in 2005 gepubliceerd door het Cito. Klik hier om dat stuk op de website van het Cito te bekijken. PPON staat voor Periodieke Peiling van het OnderwijsNiveau. Het PPON-rapport bevestigt opnieuw de continue achteruitgang van het rekenpeil van basisschoolleerlingen in groep 8 sinds 1987, het jaar van het eerste PPON-rekenonderzoek.

Op verzoek van dr. C.M. van Putten, lid van de werkgroep rekenen van de Expertgroep doorlopende leerlijnen, heb ik een vergelijking gemaakt tussen de onderwerpen uit het PPON-onderzoek en de onderwerpen die ik in mijn discussiestuk Rekenvaardigheden op de basisschool behandel. Klik hier om die vergelijking te zien. Dit stuk bevat ook een beknopte beschrijving van de tijdens PPON 2004 onderzochte rekenonderwerpen, een globale indicatie van de scores bij elk onderwerp en voorbeelden van opgaven uit het PPON-rapport die te moeilijk bleken voor de gemiddelde leerling van groep 8.

Op 27 september 2007 heb ik bij het afscheid van Rainer Kaenders aan de Radboud Universiteit van Nijmegen een voordracht gehouden onder de titel Het nieuwe rekenen. Klik hier om de bijbehorende presentatie te zien.

PPON 2011 rekenen

In 2011 is in opdracht van het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen het vijfde peilingsonderzoek voor rekenen uitgevoerd. Het omvatte onder andere een gedetailleerd onderzoek naar de rekenvaardigheid van leerlingen in jaargroep 8 (einde basisonderwijs). Een verslag hiervan is in 2013 gepubliceerd door het Cito. Klik hier om op de website van het Cito het persbericht hierover te bekijken. Daar kunnen ook het rapport en een samenvatting worden gedownload (pdf).

De belangrijkste conclusie van het rapport is dat de rekenvaardigheid van leerlingen in groep 8 in de periode 2004-2011 "grotendeels stabiel" is gebleven. Dat is slecht nieuws, want zoals uit het eerdere rapport PPON 2004 gebleken is, was die rekenvaardigheid beroerd (zie mijn Zwartboek rekenonderwijs).

Toch is er hoop: Rob Milikowski van De Rekencentrale heeft een korte analyse gemaakt van wat uit PPON 2011 blijkt over het toenemende gebruik van de traditionele cijferalgoritmen aan het eind van de basisschool. Zijn analyse, onder de titel Voorkeur voor de cijferalgoritmes aan het eind van het basisonderwijs kan hier worden gedownload (pdf).

Hoofdrekenen als struikelblok

Op de basisschool neemt hoofdrekenen een belangrijke plaats in. Het blijkt daarbij vooral te gaan om opgaven waarbij de beoogde oplossingswijze afhangt van de speciale getallen in de opgave. Het gaat dus niet om algemene rekenrecepten, maar om procedures die slechts in bijzondere gevallen werken en die de leerling dan uit het hoofd, zonder pen en papier, toe moet passen. Handig rekenen wordt dit genoemd. Daardoor zou, volgens de moderne rekendidactici en schoolboekenschrijvers, het inzicht worden bevorderd.

Aan de hand van een serie voorbeeldopgaven laat ik in dit artikel zien wat dit in concreto betekent, dat wil zeggen wat voor opgaven leerlingen tegenwoordig uit het hoofd moeten kunnen berekenen en welke procedures ze daarbij geacht worden te gebruiken. Ik pleit ervoor dit handige rekenen af te schaffen.

Terug naar inhoudsopgave

Wat is er mis met ons rekenonderwijs?

In het meinummer 2009 van het tijdschrift Mensenkinderen van de Nederlandse Jenaplanvereniging is een artikel van Gerard Verhoef en mij verschenen onder de titel Wat is er mis met ons rekenonderwijs? Klik hier voor een preprint van dat artikel.

Terug naar inhoudsopgave

BASISBOEK REKENEN 2e Editie


photo Bij uitgeverij Pearson Education Benelux is de Tweede editie verschenen van het

BASISBOEK REKENEN

door Jan van de Craats en Rob Bosch.
(176 bladzijden, ISBN 978-90-430-2104-3)

Dit boek is geschreven voor iedereen die wil leren rekenen of weggezakte rekenvaardigheden wil bijspijkeren. Het is vooral ook bedoeld voor studenten in het hoger beroepsonderwijs, de pabo en de technische en economische opleidingen in het middelbaar beroepsonderwijs.

Het boek begint met eenvoudige optelsommen en werkt dan het gehele repertoire af van optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen (inclusief de staartdeling), rekenen met decimale breuken (`kommagetallen'), andere breuken, negatieve getallen en machtsverheffen. Daarnaast zijn er toepassingen in het rekenen met geldbedragen, procenten, wisselkoersen, maten en gewichten. In de Tweede editie is een apart hoofdstuk over het metrieke stelsel toegevoegd.
Ter kennismaking kunt u hier als pdf-file (400 kb) enige delen uit dit boek bekijken: de inhoudsopgave, het voorwoord en zes van de veertien hoofdstukken, waaronder ook hoofdstuk 4 over de staartdeling.

Basisboek rekenen is geschikt als leerboek of als cursusboek, maar door de zorgvuldige opbouw met veel oefenmateriaal en antwoorden achterin is het ook geschikt voor zelfstudie. Wie Basisboek rekenen heeft doorgewerkt, slaagt met vlag en wimpel voor elke rekentoets!

Inhoudsopgave:
  • Deel I: Natuurlijke getallen

    1. Optellen - De opteltabel. Tientallen, honderdtallen, duizendtallen. Over een tiental heen tellen. Doortellen uit je hoofd. Getallen van twee cijfers optellen. Optellen onder elkaar. Opschrijven of onthouden?

    2. Aftrekken - De aftrektabel. Moeilijkere aftreksommen. Aftrekken onder elkaar. Opschrijven of onthouden? Meer getallen aftrekken.

    3. Vermenigvuldigen - De vermenigvuldigtabel. Makkelijke vermenigvuldigsommen. Iets moeilijkere vermenigvuldigsommen. Vermenigvuldigen van meer dan twee getallen. Veelvouden. Vermenigvuldigen onder elkaar. Meer voorbeelden.

    4. Delen met rest- Wat is delen met rest? De staartdeling - een eenvoudig voorbeeld. De staartdeling met euro's uitgelegd. De staartdeling - een groter voorbeeld.

  • Deel II: Kommagetallen

    5. Rekenen in euro's - Optellen en aftrekken. Vermenigvuldigen. Afronden en btw berekenen.

    6. Rekenen met kommagetallen - Het verplaatsen van de komma. Optellen en aftrekken. Vermenigvuldigen. De voortgezette staartdeling. Delen met kommagetallen.

    7. Het metrieke stelsel - Maten: lengte, oppervlakte en inhoud. Andere inhoudsmaten: liter en cc. Massa en gewicht.

    8. Toepassingen van kommagetallen - Tijd en snelheid. Het omgekeerde van een getal. Miles en inches. Valutakoersen. Het aflezen van kommagetallen. Procenten en kommagetallen. Rekenen met procenten.

  • Deel III: Breuken

    9. Wat zijn breuken? - Pizza's delen. Het vereenvoudigen van breuken. Breuken op de getallenlijn. Natuurlijke getallen als breuken. Gemengde breuken. De grootste gemeenschappelijke deler (ggd).

    10. Rekenen met breuken - Optellen en aftrekken. Meer over het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv). Vermenigvuldigen. Delen. Breuken en kommagetallen. Breuken in breuken. Een overzicht van alle rekenregels.

  • Deel IV: Negatieve getallen

    11. Wat zijn negatieve getallen? - Een eurorekening. De uitgebreide getallenlijn.

    12. Rekenen - Optellen en aftrekken. Vermenigvuldigen en delen. Haakjes zetten of niet? Nogmaals: de eurorekening. Haakjes en voorrangsregels.

  • Deel V: Meer over getallen

    13. Getallen noteren - Cijfers en getallen. Telwoorden. Machten van tien. Getallen in drijvende-kommanotatie.

    14. Machtsverheffen - Wat is machtsverheffen? Rekenregels voor machten. Kwadraten en vierkanten, derdemachten en kubussen.

    15. Priemgetallen en deelbaarheid - Ontbinden in priemfactoren. Deelbaarheidscriteria. Verklaring van de deelbaarheidscriteria.

  • Rekenrecepten
  • Antwoorden
  • Trefwoordenregister

Klik hier voor een lijst met tot nu toe gevonden errata en hier voor een lijst met errata in de Eerste editie.

Terug naar inhoudsopgave



BASISBOEK WISKUNDE 2e Editie


photo Bij uitgeverij Pearson Education Benelux is de Tweede editie verschenen van het

BASISBOEK WISKUNDE

door Jan van de Craats en Rob Bosch.
(318 bladzijden, ISBN 978-90-430-1673-5.)

Dit boek is geschreven om de kloof tussen de wiskunde op school en de wiskunde op hbo en universiteit te overbruggen. Het legt de wiskundige basis die nodig is voor alle studierichtingen in de techniek, de bètavakken, de informatica, de economie en aanverwante disciplines. Met basiswiskunde bedoelen we algebra, getallenrijen, vergelijkingen, meetkunde, functies en calculus (differentiaal- en integraalrekening). Kansrekening en statistiek - aparte wiskundevakken met een eigen invalshoek - behandelen we niet.

Op basis van feedback van gebruikers is in de Tweede editie de behandeling van een aantal onderwerpen gestroomlijnd en uitgebreid. Er zijn extra opgaven toegevoegd en minder geslaagde opgaven verwijderd. Klik hier voor een gedetailleerde beschrijving van alle veranderingen ten opzichte van de eerste editie.
Op grond van een overeenkomst met de uitgever is hier ter kennismaking een deel van het boek beschikbaar in de vorm van een pdf-file. De gedrukte, volledige versie van het boek (inclusief de antwoorden van alle opgaven, een formuleoverzicht en een trefwoordenregister) is verkrijgbaar via de boekhandel, de internetboekhandel of hier via de website van de uitgever.
De internetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedownload. De (gedownloade) internetversie mag niet onder derden worden verspreid of gebruikt worden op het intranet van instellingen, organisaties en/of bedrijven. Kopiëren naar een andere website is evenmin toegestaan.


Inhoudsopgave:

  • Deel I: Getallen

    1. Rekenen met gehele getallen
    2. Rekenen met breuken
    3. Machten en wortels

  • Deel II: Algebra

    4. Rekenen met letters
    5. Merkwaardige producten
    6. Breuken met letters

  • Deel III: Getallenrijen

    7. Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten
    8. Rijen en limieten

  • Deel IV: Vergelijkingen

    9. Eerstegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden
    10. Tweedegraadsvergelijkingen
    11. Stelsels eerstegraadsvergelijkingen

  • Deel V: Meetkunde

    12. Lijnen in het vlak
    13. Afstanden en hoeken
    14. Cirkels
    15. Meetkunde in de ruimte

  • Deel VI: Functies

    16. Functies en grafieken
    17. Goniometrie
    18. Exponentiële en logaritmische functies
    19. Geparametriseerde krommen

  • Deel VII: Calculus

    20. Differentiëren
    21. Differentialen en integralen
    22. Integratietechnieken
    23. Toepassingen.

  • Deel VIII: Achtergronden

    24. Reële getallen en coördinaten.
    25. Functies, limieten en continuïteit.
    26. Aanvullende afleidingen.

  • Antwoorden

  • Formuleoverzicht

  • Trefwoordenregister
Klik hier voor een lijst met errata in de Eerste editie en hier voor een lijst met errata in de Tweede editie.

Studiesteun bij Basisboek wiskunde

Eigenlijk is deze Studiesteun overbodig. Basisboek wiskunde is een oefenboek dat helemaal zelfstandig kan worden doorgewerkt. De opgaven staan op de linkerbladzijden, de uitleg op de rechterbladzijden en de antwoorden van alle opgaven staan achterin.

Van verschillende zijden is echter gevraagd of er naast de antwoorden ook volledige uitwerkingen van de opgaven beschikbaar kunnen worden gesteld. Rob Bosch en ik hebben ons daar altijd tegen verzet omdat je dan gemakkelijk in de verleiding komt om te snel naar de uitwerkingen te kijken, en dan leer je niets. Bovendien zijn er vaak verschillende oplossingen mogelijk. Niet altijd zal de gegeven uitwerking overeenkomen met de uitwerking die je zelf hebt gevonden, en die toch ook goed kan zijn. Veel beter is het om zelf de som te maken en je antwoord te vergelijken met het antwoord achterin.

Met deze Studiesteun doe ik echter een handreiking, door van een klein aantal opgaven toch een volledige uitwerking te geven. De keuze van de opgaven waarvoor ik zo'n uitwerking geef, licht ik in de Studiesteun zelf nader toe. Klik hier om de Studiesteun in te zien of te downloaden (pdf).

WolframAlpha als gratis ICT-ondersteuning

Vrijwel het gehele Basisboek wiskunde kan zonder rekenmachine of andere ICT-middelen worden doorgewerkt. Toch kan het inspirerend zijn om ook gebruik te maken van de mogelijkheden die het internet biedt. Zeer geschikt daarvoor is WolframAlpha (WA), een gratis vraag- en antwoordmachine met indrukwekkende mogelijkheden op het gebied van de wiskunde en de statistiek. Klik hier voor een toelichting met veel voorbeelden. Bedenk echter dat je door op knoppen te drukken en een machine het werk te laten doen, zelf geen wiskunde leert. Gebruik WA dus in de eerste plaats als aanvulling en als inspiratiebron.

SEFI

Als achtergrondinformatie bij verwante ontwikkelingen in Europees verband kunt u hier het rapport Mathematics for the European Engineer van de SEFI Mathematics Working Group raadplegen. SEFI is de European Society for Engineering Education. Dit rapport richt zich vooral op technische opleidingen, maar veel ervan, en met name hetgeen onder het trefwoord "core zero" als vwo-stof genoemd wordt, is ook relevant voor bètastudies, informatica en econom(etr)ie.



Grundwissen Mathematik

photo Unter dem Titel

Grundwissen Mathematik - Ein Vorkurs für Fachhochschule und Universität

ist beim Springer Verlag die deutsche Übersetzung des Basisboek wiskunde, 2e editie erschienen.

Übersetzt von Petra de Jong und Theo de Jong.

Einen Link zur deutschen Ausgabe finden Sie hier, einen Link zu den Errata hier.





Tout ce que vous avez appris et oublié en MATHS !

photo Sous le titre ci-dessus, en neérlandais :

Alles wat u ooit hebt geleerd en weer bent vergeten over WISKUNDE!

Pearson France a publié la traduction française du Basisboek wiskunde, 2e editie.

Le sous-titre est : Plus de 1000 exercices et un peu de théorie … pour vous remettre à niveau.

Traduction française : Micheline Vanthemsche.

Ici on trouve plus de détails sur ce livre.

Une liste des Errata se trouve ici.

Terug naar inhoudsopgave

VERVOLGBOEK WISKUNDE


photo Bij uitgeverij Pearson Education Benelux is verschenen het

VERVOLGBOEK WISKUNDE

door Jan van de Craats.
(220 bladzijden, ISBN 978-90-430-1619-3)

Dit boek volgt op het succesvolle studieboek Basisboek wiskunde, waarin de eerste elementaire kennis van de wiskunde wordt aangeboden. Vervolgboek wiskunde gaat een stap verder. Het behandelt die wiskunde die nodig is om verder te gaan in technische en exact georiënteerde studierichtingen. Het pakt de draad op waar Basisboek wiskunde ophoudt; beide boeken sluiten naadloos op elkaar aan.
Ter kennismaking kunt u hier als pdf-file (400 kb) enige delen uit dit boek bekijken: de inhoudsopgave, het voorwoord en zes van de 22 hoofdstukken.

Vervolgboek wiskunde is, net als Basisboek wiskunde, in de eerste plaats een oefenboek. In elk hoofdstuk komt nu eerst de theorie aan de orde en vervolgens de opgaven; achterin het boek staan de antwoorden. Dit maakt Vervolgboek wiskunde geschikt als leerboek of als cursusboek, maar door de zorgvuldige opbouw met veel oefenmateriaal en antwoorden achterin is het ook geschikt voor zelfstudie.

Inhoudsopgave:
  • Deel I: Vectorrekening

    1. Vectorbewerkingen
    2. Lijnen in het vlak en in de ruimte
    3. Vlakken in de ruimte
    4. Het uitproduct en de determinant

  • Deel II: Matrixrekening en lineaire stelsels

    5. Matrixrekening
    6. Stelsels lineaire vergelijkingen
    7. Matrixinversie

  • Deel III: Reeksontwikkeling

    8. Machtreeksen voor functies
    9. Rekenen met machtreeksen
    10. Taylorreeksen

  • Deel IV: Functies van meer variabelen

    11. Functies van twee variabelen
    12. Functies van meer dan twee variabelen
    13. Kettingregels en hogere afgeleiden
    14. Bol- en cilindercoördinaten

  • Deel V: Meervoudige integralen

    15. Dubbelintegralen
    16. Integralen in andere coördinatenstelsels

  • Deel VI: Complexe getallen

    17. Rekenen met complexe getallen
    18. Meetkundig rekenen
    19. Wortels en polynomen

  • Deel VII: Differentiaalvergelijkingen

    20. Wat zijn differentiaalvergelijkingen?
    21. Lineaire differentiaalvergelijkingen
    22. Gedwongen trillingen

  • Antwoorden
  • Trefwoordenregister

Klik hier voor een lijst met tot nu toe gevonden errata.

Terug naar inhoudsopgave

COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D

photo

Herziene versie (augustus 2007)

Ten behoeve van het keuzevak Wiskunde D voor de natuurprofielen in het vwo heb ik een lestekst in boekvorm geschreven over het onderwerp Complexe getallen. Klik hier om dat boek te bekijken of te downloaden (pdf-format, ca. 700 Kb).
Een voorlopige versie van deze tekst heeft meer dan een jaar op deze homepage gestaan. Hierop heb ik van veel docenten en andere belangstellenden commentaar gehad, mede naar aanleiding van het gebruik van de tekst in de klas.

Ik heb nu een herziene versie gemaakt, waarin ik geprobeerd heb al het commentaar te verwerken. Hoofdstuk 2 is ingrijpend gewijzigd en ook in de andere hoofdstukken zijn tal van verbeteringen aangebracht. De Toegiften zijn verwijderd en elk hoofdstuk wordt nu afgesloten met een samenvatting. De benodigde voorkennis is in een bijlage kort samengevat. Voor belangstellenden is ook de oude versie, inclusief de toegiften, nog beschikbaar. Die wordt echter niet meer onderhouden.

Commentaar en suggesties worden zeer op prijs gesteld! Reacties ontvang ik graag op mijn e-mailadres (zie bovenaan deze homepage). De file van het boek wordt voortdurend bijgehouden en waar nodig worden fouten en onduidelijkheden gecorrigeerd. De datum van de file staat op de titelpagina. Klik hier voor een lijst van alle wijzigingen, met de data waarop ze zijn doorgevoerd. Laatste wijziging: 23 augustus 2007.

Tijdens de CWI-Vacantiecursus Wiskunde in beweging voor vwo-docenten en andere belangstellenden (Eindhoven en Amsterdam, eind augustus 2007) heb ik een lezing gegeven over complexe getallen en complexe functies. Klik hier om de presentatie te zien (pdf). De bijbehorende syllabustekst kunt u hier lezen (pdf). Via de website van het CWI kunt u de volledige syllabus bestellen.

Terug naar inhoudsopgave

Collegedictaat KANSREKENING EN STATISTIEK

Toen ik nog doceerde aan de KMA heb ik een collegedictaat Kansrekening en Statistiek geschreven dat bedoeld was voor cadetten van de technische studierichtingen. Het ingangsniveau is vwo wiskunde B. Belangstellenden kunnen dit dictaat hier inzien en downloaden (versie augustus 2002). Het dictaat is ook geschikt als leerstof voor het huidige vwo-vak Wiskunde D.

Inhoudsopgave:
  • 1. Kansen en kansmodellen

  • 2. Continue kansmodellen

  • 3. Stochastische variabelen

  • 4. Verwachting en variantie

  • 5. De Centrale Limietstelling

  • 6. Schatten en toetsen

  • Gemengde opgaven

  • Uitwerkingen van alle opgaven

  • Formuleoverzicht


Collegedictaat WACHTTIJDTHEORIE

Eveneens uit mijn KMA-tijd dateert het collegedictaat Wachttijdtheorie dat ik samen met Rob Bosch geschreven heb. Belangstellenden kunnen dit dictaat hier inzien en downloaden (versie 2001). Delen ervan zijn ook geschikt als leerstof voor vwo Wiskunde D.

Inhoudsopgave:
  • 1. Het Poissonproces

  • 2. Inleiding wachtrijen

  • 3. Wachtrijmodellen

  • Formules

  • Antwoorden bij de opgaven


Terug naar inhoudsopgave


Mathematics from secondary school to university in The Netherlands (public lecture)

On April 15, 2010, I presented a lecture at the Seminar für Mathematik of the Johannes Gutenberg Universität Mainz on entrance problems in mathematics in universities in The Netherlands. Click here to see the slides of this lecture (pdf).

Op 15 april 2010 heb ik aan het Seminar für Mathematik van de Johannes Gutenberg Universität Mainz een voordracht gehouden (in het Engels) over de aansluitingsproblemen wiskunde van vwo naar universiteit in Nederland. Klik hier om de presentatieslides van die lezing te zien (pdf).

Terug naar inhoudsopgave

Aansluitingsproblemen wiskunde vwo-universiteit
Is er al verbetering merkbaar?

Onder deze titel heb ik op 14 november 2012 een colloquiumvoordracht gegeven bij de wiskunde op de Vrije Universiteit. Klik hier om de presentatieslides bij deze voordracht te zien.

Aansluitingsproblematiek Wiskunde bij
overgang havo/vwo naar hbo/universiteit

Op 10 maart 2010 heb ik aan de Universiteit van Gent een lezing gehouden over de aansluitingsproblematiek wiskunde in Nederland. Klik hier om de slides van die voordracht te zien.

De grafische rekenmachine op school

In de Nieuwsbrief van het Korteweg - De Vries Instituut heb ik een artikel gepubliceerd met als titel De grafische rekenmachine op school. Klik hier om dat artikel te zien.

Eerdere voordrachten:

Op 15 februari 2007 heb ik tijdens de Eindconferentie van het MathMatch-project van de Digitale Universiteit een lezing gegeven onder de titel "Basiswiskunde: met of zonder contexten?" Klik hier om de presentatie (pdf) te zien.
Ik heb de tekst van deze lezing uitgewerkt in de vorm van een artikel met als titel Contexten en eindexamens dat verschenen is in Euclides, 82e jaargang, nr. 7, mei 2007 (pp.261-266). Klik hier voor een preprint (pdf) van dat artikel.
In de lezing en het artikel verwijs ik naar een lijst van de gewenste wiskundevoorkennis die is geaccordeerd door de gezamenlijke wiskundedocenten aan de universitaire economie- en bedrijfskundefaculteiten in Nederland. Klik hier om die lijst (pdf) te zien.
Recente instaptoetsen van de drie Technische Universiteiten en de Universiteit van Amsterdam zijn te vinden op de website van het MathMatch-project. Je kunt die toetsen daar als gast ook zelf maken.

Op 9 maart 2006 heb ik de openingsvoordracht verzorgd op een SURF-bijeenkomst die gewijd was aan de aansluitingsproblematiek wiskunde bij de overgang van havo/vwo naar hbo/universiteit. Klik hier om de presentatie (in pdf-format) te zien.

Tijdens de Studiedag van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren die gehouden is op 6 november 2004 heb ik een plenaire lezing verzorgd onder de titel "Basiswiskunde, wat moet erin en waarom?" Klik hier om de presentatie (in pdf-format) te zien.

Terug naar inhoudsopgave

Beslissingen examenprogramma's wiskunde 2013

Op 8 april 2008 heeft staatssecretaris Marja van Bijsterveldt-Vliegenthart van OCW haar beslissingen bekendgemaakt omtrent de voorstellen voor examenprogramma's wiskunde havo en vwo die naar verwachting zullen leiden tot de invoering van nieuwe examenprogramma's in 2013.

Naar aanleiding hiervan heeft Anne van Streun een petitie gestart in de vorm van een open brief waarin hij en zijn medeondertekenaars de staatssecretaris oproepen om haar beslissingen te herroepen. Ik heb de tekst van die petitie van kanttekeningen voorzien, met als conclusie dat er voor de staatssecretaris geen redenen zijn om aan deze oproep gehoor te geven.

Op 13 juni 2008 heeft de staatssecretaris in een brief aan de Tweede Kamer gereageerd op de commotie die haar beslissingen in een deel van het wiskundeveld hebben veroorzaakt. Lees die brief hier. In die brief heeft zij aangekondigd dat zij de HBO-raad en de VSNU (Vereniging van Samenwerkende Nederlandse Universiteiten) zou raadplegen over haar beslissingen. Dit is inmiddels gebeurd. Zowel de HBO-raad als de VSNU hebben zich met de beslissingen van de staatssecretaris akkoord verklaard. Klik hier voor de tekst van de reactie van de HBO-raad, en hier om de brief van de VSNU te lezen.

Twee bewogen jaren

Overzichtsartikel ontwikkelingen OCW, cTWO en Resonansgroep

In de maartnummers van 2009 van de tijdschriften Euclides en Nieuw Archief voor Wiskunde is een artikel van mij verschenen over de ontwikkelingen in de afgelopen twee jaren met betrekking tot de Vernieuwingscommissie Wiskunde (cTWO), de Resonansgroep wiskunde en de beslissingen van de staatssecretaris over de nieuwe examenprogramma's.
Klik hier voor een preprint van dat artikel.

Brief staatssecretaris aan Tweede Kamer over aangepaste cTWO-voorstellen

Op 11 maart 2009 heeft de staatssecretaris de Tweede Kamer per brief op de hoogte gesteld van de door cTWO aan haar beslissingen aangepaste voorstellen voor de conceptexamenprogramma's wiskunde havo en vwo. Die zullen vanaf het schooljaar 2009-2010 in pilots worden beproefd waarna ze naar verwachting in 2014, eventueel in aangepaste vorm, van kracht kunnen worden (de commotie rond haar eerdere beslissing heeft dus een jaar uitstel veroorzaakt).

Lees hier die brief en hier de toelichting van cTWO bij haar voorstellen. De conceptexamenprogramma's zelf kunt u hier lezen.

Definitieve rapport cTWO

Op 9 januari 2013 heeft cTWO haar eindrapport aangeboden aan staatssecretaris Dekker van OCW. Klik hier om het eindrapport te lezen (onder "Publicaties"). De nieuwe programma's voor havo en vwo zullen worden ingevoerd in 2015 in de vierde klas.

Terug naar inhoudsopgave

Document De Kern van de Wiskunde

Het document De kern van de wiskunde beoogt een systematische inventarisatie te geven van de kerngebieden van de wiskunde die op de basischool, het vmbo, het havo en het vwo in de vakken rekenen en wiskunde behandeld dienen te worden. Het beperkt zich tot die onderdelen die relevant zijn voor de doorstroming naar het hoger onderwijs (mbo, hbo, universiteit). Klik hier om de laatste versie van dit document te bekijken (pdf-format).

Natuurlijk zijn niet alle in dit document genoemde onderdelen voor alle vormen van voortgezet en hoger onderwijs van belang; de basis is gemeenschappelijk, maar in vmbo, havo en vwo zullen de verschillende richtingen en profielen verschillende keuzes maken. De opbouw van het document maakt het mogelijk doorlopende leerlijnen te identificeren. De wiskunde is immers bij uitstek een cumulatief vak, waarbij latere stof voortbouwt op eerder behandelde onderwerpen.

In dit document wordt aangegeven welke onderdelen beheerst moeten worden aan het einde van de basisschool, aan het einde van het vmbo en aan het einde van de onderbouw van havo of vwo. Het kan verder als leidraad dienen bij een beschrijving van de kernonderdelen in de verschillende wiskundevakken van de bovenbouw havo en vwo die als verplichte profielvakken zijn aangemerkt (wiskunde A, B of C).

Commentaar op dit document is welkom op mijn e-mailadres (zie bovenaan deze homepage).

Terug naar inhoudsopgave

Symmetrie in islamitische ornamentale kunst

photo Tijdens de CWI-Vacantiecursus 2004 die als titel droeg "Structuur in schoonheid" heb ik een voordracht gehouden over symmetrie in islamitische ornamentale kunst. De bijbehorende syllabustekst kunt u hier als .pdf-file (ca. 10 Mb) bekijken en downloaden. De gehele syllabus kan besteld worden bij het CWI, zie www.cwi.nl/publications/ onder CWI-Syllabi.

Klik hier voor determinatieschema's en voorbeelden van strookpatronen en behangpatronen.

Zie ook hier voor een overzichtsartikel van mij over symmetrische patronen op de bol en in het vlak.

Klik hier voor een mooi artikel op de Engelstalige Wikipedia over behangpatronen (`wallpaper paterns') en de bijbehorende groepen (met dank aan Hans Kuiper en Bert Boon voor deze tip).

Terug naar inhoudsopgave

Babylonisch rekenen

photo
Een Babylonische kleitablet
(ca. 1700 v.Chr.). 		In het januarinummer 2005 van het tijdschrift Euclides van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren is een artikel van mij verschenen over rekenen bij de oude Babyloniërs. Klik hier voor een preview in pdf-format.

Dit artikel is een uitgebreide bewerking van een gedeelte van de lezing "De oorsprong van de wiskunde" die ik op 27 juni 2004 in Paradiso heb gegeven. De teksten van alle Paradisolezingen in de cyclus "De oorprong" zijn gepubliceerd in een boek dat bij Uitgeverij Boom, Amsterdam is verschenen (2004): Niki Korteweg (red.), "De Oorsprong - Over het ontstaan van het leven en alles eromheen".

Terug naar inhoudsopgave

De juiste toon

photo In 2003 is bij Epsilon Uitgaven in de Zebra-reeks mijn boek "De juiste toon" verschenen. Het gaat over de wiskunde van toonsystemen en stemmingswijzen, en het is bedoeld voor iedere muziekliefhebber die wiskundig getinte redeneringen niet uit de weg gaat. Klik hier voor meer details, bestellingswijze, etc.

Erratum (met dank aan Cynthia Liem en Catherine Endtz.): op bladzijde 48, regel 11 van onderen, staat een fout in de berekening. Er moet staan:
De 'kwint' As-Es wordt dan echter het uitermate valse interval Gis-Es (737.637 cent, tegen 701.955 cent voor de zuivere kwint, dus bijna 36 cent te groot).

In de tweede druk (november 2005) is dit hersteld. Nu is er echter een andere ongerechtigheid ingeslopen: op pagina ii (tegenover de titelpagina) staat onder de gegevens van het boek: Eindredactie: Carolien Reus. Dit is onjuist. Carolien heeft met de tekst van "De juiste toon" geen bemoeienis gehad. Afgezien van het omslag en het voorwerk (de eerste vier pagina's) zijn de tekst, het zetwerk (in LaTeX) en alle illustraties volledig door de auteur verzorgd en in electronische vorm aangeleverd.

De juiste toon (lezing)

Op 17 december 2007 heb ik op het Hout- en Meubileringscollege in Amsterdam, afdeling Pianotechniek, een lezing gehouden onder de titel De juiste toon. Klik hier om de presentatie (pdf) te zien.

De juiste toon, de juiste stemming (artikel)

In het Nieuw Archief voor Wiskunde heb ik in het juninummer van 2001 samen met Floris Takens een artikel gepubliceerd over de stemming van toetsinstrumenten onder de titel De juiste toon, de juiste stemming waarin we dieper ingaan op de wiskundige en natuurkundige achtergronden van de stemmingsproblematiek. Klik hier om dat artikel op de site van het Nieuw Archief te lezen of te downloaden (pdf).


Terug naar inhoudsopgave

Vectoren en Matrices

photo In 2000 is bij Epsilon Uitgaven mijn boek "Vectoren en Matrices" verschenen. Het is een inleiding in de Lineaire Algebra voor studenten hbo en universiteit en andere belangstellenden. Klik hier voor meer details, bestellingswijze, etc.

Terug naar inhoudsopgave

Chaostheorie

photo In 2003 is bij Epsilon Uitgaven het boek "Chaostheorie" verschenen als tweede, bewerkte en uitgebreide druk van het boek "Het einde van de voorspelbaarheid" dat in 1995 als gezamenlijke uitgave van Aramith Uitgevers en Epsilon Uitgaven op de markt kwam. De auteurs zijn Henk Broer (Rijksuniversiteit Groningen), Jan van de Craats (Universiteit van Amsterdam en Open Universiteit) en Ferdinand Verhulst (Universiteit Utrecht).

Chaostheorie is door experts geschreven voor een algemeen publiek. Het plaatst de chaostheorie in een breed historisch en maatschappelijk perspectief. Klik hier voor meer details, bestellingswijze, etc.

Terug naar inhoudsopgave

De Nederlandse Wiskunde Olympiade

photo In 2002 is "De Nederlandse Wiskunde Olympiade" verschenen, een spannend boek met 100 opgaven, hints, oplossingen en achtergronden. Het werd samengesteld ter gelegenheid van het veertigjarig jubileum van de Nederlandse Wiskunde Olympiade, een jaarlijkse wedstrijd voor scholieren. Klik hier voor meer details. Helaas is het boekje inmiddels helemaal uitverkocht, maar een pdf-file ervan kan op de genoemde site worden ingezien en gedownload. Klik hier voor meer informatie over de Nederlandse Wiskunde Olympiade.

Terug naar inhoudsopgave

UvA Mastercourse Wiskunde in beeld


In april 2005 heb ik samen met André Heck van het Amstel Instituut van de Universiteit van Amsterdam een UvA-mastercourse verzorgd voor vwo-docenten onder de titel

Wiskunde in beeld — zelf wiskundige illustraties van hoge kwaliteit maken.

pyth Er zijn allerlei softwarepakketten op de markt om grafieken en andere meetkundige figuren te tekenen. Het probleem daarbij is dat je als gebruiker toch meestal niet de volledige controle over de vormgeving hebt: je kunt zo'n tekening vaak niet helemaal aan je eigen wensen aanpassen. Die totale beheersing is er wel bij de grafische taal PostScript. In deze cursus zijn de eerste beginselen van het werken met PostScript behandeld aan de hand van een grote collectie voorbeelden en opdrachten. Ook is uitgelegd hoe je aan de (vrij verkrijgbare) software kunt komen om PostScriptfiles te maken, te lezen te printen en in andere (bijvoorbeeld Word-)documenten op te nemen.

Het cursusmateriaal van deze cursus, inclusief de PostScript-codes van alle figuren, kan worden gedownload van de homepage van André Heck.

Terug naar inhoudsopgave

Fourier-theorie en complexe getallen


Tijdens de CWI-Vacantiecursus 2005 die als titel droeg "De schijf van vijf" heb ik een voordracht gehouden over Fourier-theorie en complexe getallen. De bijbehorende syllabustekst kunt u hier als .pdf-file bekijken en downloaden. De gehele Syllabus kan besteld worden bij het CWI, zie www.cwi.nl/publications/ onder CWI-Syllabi.

Terug naar inhoudsopgave

Vlakke meetkunde met coördinaten


Tijdens de CWI-Vacantiecursus 1998 die als titel droeg "Meetkunde, oud en nieuw" heb ik een voordracht gehouden over vlakke meetkunde met coördinaten. Een geactualiseerde bewerking van de bijbehorende syllabustekst kunt u hier als .pdf-file bekijken en downloaden. De gehele Syllabus kan besteld worden bij het CWI, zie www.cwi.nl/publications/ onder CWI-Syllabi.

In het februarinummer 2006 van het tijdschrift Euclides heb ik hierover een korter artikel gepubliceerd onder de titel "Bewijzen met coördinaten".
Klik hier voor een preview van dat artikel in pdf-format.

Vlakke euclidische meetkunde: een moderne aanpak

Op 8 januari 2013 heb ik bij de lerarenopleiding wiskunde aan de TU Delft een gastcollege gegeven over de bovenstaande geactualiseerde syllabustekst. Klik hier om de presentatieslides (pdf) van dit college te zien.

Terug naar inhoudsopgave

Eenvoud bij tekenen en rekenen

parabool In het decembernummer 2005 van Euclides, het blad van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger in een artikel RECHTLIJNIGE KROMMEN verslag van een experimenteel project in klas 5 vwo wiskunde-B met computeralgebra. De resultaten ervan waren niet in alle opzichten bevredigend. Dat is jammer, want het onderwerp van dat project, omhullenden van zekere lijnenbundels, biedt tal van aanknopingspunten voor prachtige wiskunde, ook op 5-vwo niveau. Daarbij kan de computer wel een rol spelen, maar voornamelijk om mooie en motiverende figuren te maken. Dat kan met elk tekenpakket waarin je met coöordinaten en herhalingsloops kunt werken, zelfs op de gewone grafische rekenmachine. Computeralgebra is daarvoor niet nodig. Wel de gewone schoolwiskunde met de bijbehorende formulevaardigheid.

Onder de titel EENVOUD BIJ TEKENEN EN REKENEN heb ik mijn commentaar op dit stuk verwoord. Die reactie bevat ook ideeën voor alternatieve projecten zonder computeralgebra over dit onderwerp. Klik hier om mijn artikel in pdf-format te bekijken. Het is verschenen in het meinummer 2006 van Euclides.

Terug naar inhoudsopgave

'Open problemen' in Pythagoras

Het jaarthema van de jaargang 2005/2006 van PYTHAGORAS, het wiskundetijdschrift voor jongeren, was 'Open problemen in de wiskunde'.
Ik was voor dat thema de gastredacteur. Je kunt hieronder previews bekijken in pdf-format van de artikelen waarvan ik auteur of co-auteur was.
photo In het septembernummer 2005: Een miljoen dollar voor een bewijs.
Dit artikel gaat over de zeven onopgeloste problemen waarvoor het Clay Mathematical Institute uit Cambridge, Massachusetts, USA een miljoen dollar heeft uitgeloofd.
In het novembernummer 2005: Open priemproblemen (samen met Christine Jost en Janina Müttel).
Dit artikel gaat over open problemen die met priemgetallen te maken hebben. Onder andere de Riemann-hypothese en de vraag of er oneindig veel priemtweelingen zijn.
In het januarinummer 2006: Spookgetallen (samen met Janina Müttel).
Dit artikel gaat onder andere over Fermatgetallen, volmaakte getallen, Mersenne-priemgetallen en het vermoeden van Goldbach.
In het juninummer 2006: Nulpunten op een lijn? . Dit artikel gaat over de Riemann-hypothese.

Terug naar inhoudsopgave

De Riemann-hypothese - Een miljoenenprobleem

Bij Epsilon Uitgaven is het boek De Riemann-hypothese - Een miljoenenprobleem verschenen van Roland van der Veen en Jan van de Craats.
parabool De Riemann-hypothese is het belangrijkste open probleem van de wiskunde. Wie het oplost, wordt wereldberoemd en verdient bovendien de prijs van een miljoen dollar die er in het jaar 2000 voor is uitgeloofd.

De Riemann-hypothese heeft te maken met de rij van de priemgetallen. Hoe liggen de priemgetallen verspreid tussen de andere getallen? Hoeveel priemgetallen zijn er? Hoeveel zijn er van honderd cijfers? Van duizend cijfers? Bernhard Riemann schreef hierover in 1859 een baanbrekend artikel. Daarin formuleerde hij ook zijn beroemde vermoeden, min of meer als een losse opmerking terzijde. Maar niemand heeft het nog op kunnen lossen.

Achter Riemanns vermoeden gaat een heel wiskundig universum van oneindige reeksen, oneindige producten, complexe getallen en complexe functies schuil. Dit boek is een eerste verkenning van die fascinerende, onbekende wereld. Het is voortgekomen uit de lesteksten bij een webklas wiskunde aan de Universiteit van Amsterdam voor vwo-scholieren met wiskunde B in hun pakket.

Inhoudsopgave:
  • Voorwoord
  • 1. Priemgetallen
  • 2. De zèta-functie
  • 3. De Riemann-hypothese
  • 4. Priemgetallen en de Riemann-hypothese
  • Computerondersteuning
  • Over het nut van grote priemgetallen
  • Uitwerkingen van de opgaven

Voordracht over de Riemann-hypothese tijdens de NWD

Tijdens de Nationale Wiskundedagen (NWD) 2010 in Noordwijkerhout heb ik op 6 februari een voordracht gegeven over de Riemann-hypothese en de UVA-webklas hierover. Klik hier om de presentatieslides van die voordracht (in pdf) te zien.

Terug naar inhoudsopgave

De meetkunde van de derdegraadsvergelijking

In het kader van de collegereeks highlights voor eerstejaarswiskundestudenten aan de UVA heb ik een college verzorgd onder de titel De meetkunde van de derdegraadsvergelijking. Klik hier om de presentatie bij dat college te zien (pdf).
Het college was gebaseerd op een aantal toegiften uit mijn internetboek Complexe getallen voor Wiskunde D, dat eveneens op deze homepage aanwezig is (oude versie).

Terug naar inhoudsopgave

Eurekalezing Wiskunde - het mooiste vak dat er is!

Op 22 mei 2007 heb ik tijdens de conferentie NWO Bessensap - Wetenschap ontmoet de pers - de plenaire Eureka-lezing verzorgd onder de titel Wiskunde - het mooiste vak dat er is! Klik hier om de presentatie bij die lezing te zien (pdf, ca. 8Mb).

De lezing, die het begrip Symmetrie als hoofdthema had, behandelde twee recente ontdekkingen in de wiskunde die de internationale pers hebben gehaald, en daarnaast ook de rol van wetenschapscommunicatie en de vele manieren waarop in ons land door wiskundigen gewerkt wordt om wiskundig talent op te sporen en te stimuleren.

Lezing Studium generale Universiteit Utrecht:
Wiskunde en kunst

Op 5 november 2008 heb ik tijdens de lezingencyclus Wiskunde - niet alleen voor nerds in het kader van het Studium generale van de Universiteit Utrecht een lezing verzorgd met als titel De overeenkomst tussen wiskunde en kunst. Op de site van het Studium generale kun je deze lezing nog eens zien. Ook de andere drie lezingen in de cyclus, met als sprekers Vincent van der Noort, Robbert Dijkgraaf en Ionica Smeets, kun je daar bekijken.

Terug naar inhoudsopgave

Symmetric spherical and planar patterns

photo
[g(5,3,2)]


photo
[g(2,2,7)] 		Click here to view my survey article (pdf, 2.5 Mb) on symmetric spherical and planar patterns. I use John Horton Conway's signature notation in describing all types of discrete symmetric sperical and Euclidean planar patterns, including rosette patterns, frieze patterns and wallpaper patterns.

Symmetrie op de bol en in het vlak

Een Nederlandse versie van het bovenstaande artikel over symmetrische patronen op de bol en in het euclidische vlak is verschenen in het decembernummer 2011 van het Nieuw Archief voor Wiskunde. Ik gebruik daarin een aangepaste vorm van de signature notation van John Horton Conway. In het vlak gaat het om rozetpatronen, strookpatronen (frieze patterns) en behangpatronen. Klik hier voor pdf-file van dat artikel.

Tijdens de Nationale Wiskunde Dagen 2012 in Noordwijkerhout heb ik op 4 februari een voordracht gehouden over dit artikel. Klik hier voor de (bekorte) presentatieslides (pdf).

Terug naar inhoudsopgave

Kennisbasis rekenen en wiskunde voor de pabo

Naar aanleiding van de nota Krachtig meesterschap, kwaliteitsagenda voor leraren (OCW 2008) is door de HBO-raad een stuurgroep ingesteld om een Kennisbasis rekenen en wiskunde voor de pabo op te stellen. Het eindrapport van deze stuurgroep is op 7 december 2009 gepresenteerd.

De Stichting Goed Rekenonderwijs heeft grote inhoudelijke bezwaren tegen de voorgestelde kennisbasis. Zij is bovendien van mening dat hierdoor de zorgwekkende situatie van het rekenonderwijs op de pabo niet verbeterd maar eerder bestendigd wordt. Daarom heeft de stichting een alternatieve Kennisbasis rekenen en wiskunde voor de pabo opgesteld die hier kan worden gelezen.

Terug naar inhoudsopgave

Rekenmachines op de basisschool?

Op 26 september 2012 heb ik op de themamiddag De rekenmachine op de basisschool? van de NVORWO een korte voordracht gehouden waarin ik aandacht vroeg voor de problemen waarmee basisschooldocenten worden geconfronteerd als zij hun leerlingen met rekenmachines laten werken. Ik sloot af met een anecdote, drie stellingen en enige prikkelende vragen.

Klik hier om de presentatieslides (pdf) te zien van die voordracht.

Terug naar inhoudsopgave

Klik hier om de scholierensite te bezoeken van het Korteweg-De Vries Instituut voor wiskunde van de Universiteit van Amsterdam.
Last modified: Sunday, April 14, 2013

Valid HTML 4.01 Transitional