Albert Visser in de verdediging

Pas gepromoveerden brengen hun werk onder de aandacht.

Redacteur: Geertje Hek
G.M.Hek at uva.nl

Eerder verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, maart 2010, pp.43–44.

Volatility proxies and GARCH models
Marcel Visser

Het afgelopen jaar is er menig kritisch verhaal geschreven over het gebruik van wiskundige modellen in de financiële wereld. Als je dergelijke verhalen leest of hoort, kan het bijna niet anders, of de financiële wiskunde ondervindt invloed van de huidige crisis. Voldoende reden om eens een kijkje in de keuken van de financiële wiskunde te nemen. Marcel Visser, die op 8 september 2009 aan de Universiteit van Amsterdam promoveerde, vertelt over zijn werk en zijn proefschrift Volatility proxies and GARCH models. Eén ding is zeker: het woord crisis komt er niet in voor.

Heilige graal
“Volatiliteit is de heilige graal van de financiële wiskunde”, aldus Visser. Een gebruikelijk uitgangspunt is dat de richting van koersveranderingen onvoorspelbaar, en dus onzeker is. Volatiliteit kwantificeert de mate van die onzekerheid; volatiliteit is de mate van beweeglijkheid van de koers van een aandeel of een ander financieel product. Stabiele beursfondsen hebben een vrij lage volatiliteit, terwijl aandelen die vaak en extreem bewegen een hoge volatiliteit hebben. Ook op marktniveau wordt de term gebruikt. Op financiële markten bestaan volatiele perioden met heftige koersfluctuaties en ook rustiger perioden. Het op de beurs losbarsten van de kredietcrisis in september 2008 luidde bijvoorbeeld een periode van extreem hoge volatiliteit in.

GARCH modellen
De financiële wiskunde is dus grotendeels gebaseerd op de aanname dat de richting van koersveranderingen onvoorspelbaar is. De structuur van de beweeglijkheid wordt echter verondersteld wèl voorspelbaar te zijn. Als er al voorspelbaarheid in de richting van beurskoersen zit, is die klein vergeleken met de beweeglijkheid (het kanselement). De meeste greep krijgt men op koersprocessen door die beweeglijkheid te modelleren.

Er bestaat een bekende klasse van modellen waarmee volatiliteit van-dag-tot-dag wordt beschreven op basis van van slotkoersen. Dit zijn zogeheten Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) modellen. Simpel gezegd beschrijven ze verwachte fluctuatie in termen van fluctuaties in het verleden.

Een probleem is dat deze modellen de koersbewegingen binnen de dag niet benutten als informatiebron. In zijn proefschrift ontwikkelt Visser een kansmodel en de bijbehorende statistiek om het koersverloop gedurende de dag te kunnen benutten in het GARCH model. De GARCH modellen zelf zijn discreet; de ‘gaten’ worden opgevuld door tussen de slot-rendementen dagprocessen (in continue tijd) te hangen. Aan deze dagprocessen stelt Visser weinig eisen. Wel legt hij op dat de gestandaardiseerde dagprocessen voor verschillende dagen onafhankelijk zijn. Dit blijkt goed bij de bestudeerde data te passen. De aanpak leidt in theorie en in praktijk tot aanzienlijke verbeteringen in het schatten van de GARCH parameters, en tot verbeteringen in het meten en voorspellen van volatiliteit.

Het was verrassend hoe weinig aannames soms nodig bleken om interessante vragen te kunnen beantwoorden. Zo biedt het proefschrift een formule om verschillende schatters (proxies) voor volatiliteit tot een betere schatter te combineren; die formule geldt zonder aannames over het volatiliteitsproces en zonder modelbeperkingen op te leggen aan het koersverloop binnen de dag. Bovendien is hij eenvoudig toe te passen in de praktijk.

Chris Klaassen

Guus Balkema

Robin de Vilder

Bril van discrete-tijd modellen
Visser is vooral tevreden met een inzicht dat zijn onderzoek heeft opgeleverd: het inzicht dat je heel goed door de bril van discrete-tijd modellen naar continue-tijd financiële processen kunt kijken. De aanpak brengt met zich mee dat je op een andere manier tegen volatiliteit kunt aankijken dan men gewend is in de financiële wiskunde. Normaal gesproken speelt de zogenaamde kwadratische variatie een belangrijke rol, in het proefschrift van Visser daarentegen staat een schaalfactor centraal. Die schaalfactor bepaalt wat voor een uitslagen voor een bepaalde dag verwacht kunnen worden. In Vissers model is iedere beursdag namelijk in kanstheoretisch opzicht dezelfde dag, op de genoemde stochastische schaalfactor na. De schaalfactor verhevigt (danwel dempt) alle prijsbewegingen gedurende de dag.

Korte afstand tot de weerbarstige praktijk
Marcel Visser stond met één been in de academische en met het andere been in de financiële wereld. Hij werkte aan de UvA onder begeleiding van promotor Chris Klaassen en co-promotores Guus Balkema en Robin de Vilder. Samen met De Vilder werkte hij echter een groot deel van zijn tijd ook bij Deep Blue Capital, waar ze algoritmes ontwikkelen en automatiseren die op de beurs handelen. Hij denkt dat de combinatie met de praktijk van belang is geweest, alhoewel dat moeilijk expliciet aan te wijzen is. “De korte afstand tot de weerbarstigheid van de beurshandel maakt het onaantrekkelijk om te werken met esthetisch verantwoorde, maar empirisch onrealistische aannames”, aldus Visser. Veel bestaande modellen laten bijvoorbeeld geen dagstructuur toe. In de praktijk zijn er echter heel duidelijk activiteitspatronen binnen de dag, zoals veel ochtendfluctuaties en een rustig middenstuk van de dag. Een onderscheidend kenmerk van Visser's aanpak is dat zulke patronen wel worden toegelaten.

Aan het begin van zijn aio-tijd was het lastig op een goede eerste vraag te komen, een vraag die interessant is, beantwoordbaar, maar nog niet beantwoord. Het duurde even voordat Visser het geluk had om op zo'n vraag te komen, maar dat is naar zijn eigen zeggen gecompenseerd door de mate van geluk: zoals gezegd bleek zijn aanpak erg vruchtbaar. Het uitpluizen van de openstaande vragen gaf en geeft hem veel plezier. Dat is ook een een belangrijk onderdeel bij het ontwikkel- en onderzoekswerk bij Deep Blue Capital, waarmee hij na zijn promotie is doorgegaan. Het bleek wel lastiger dan gedacht om resultaten over te brengen: “Hoe krijg je lezers zover dat ze bij een nieuw model denken: ja, zo zou ik het ook doen?” Hij denkt dat hij hierin met zijn proefschrift wel is geslaagd en hoopt dat toekomstige lezers het daarmee eens zijn. De verdediging van het proefschrift vond hij erg leuk: “Het is een hele eer om met voorbeelden uit het vakgebied op zo'n dag het debat aan te gaan.” Guus Balkema had hem meegegeven dat de aanval soms de beste verdediging is; die raad heeft hij zeker kunnen toepassen.

Toch nog even de crisis
Hoewel het woord crisis niet voorkomt in zijn proefschrift, heeft Visser zeker geen gebrek aan realiteitszin. De recente gebeurtenissen waren een belangrijke reden om de gebruikte dataset uit te breiden en het model ook daar onder de loep te nemen. Het ontwikkelde model, dat tamelijk algemeen geformuleerd is, doorstaat deze woelige beursperiode.

Visser is zich zeer bewust van het probleem dat in zijn vakgebied exacte methoden worden toegepast in een niet-exacte, niet-experimentele omgeving. Economische processen kunnen onvoorzien van structuur veranderen en in de praktijk dient een financieel wiskundig model dus met de nodige bescheidenheid worden toegepast. Een crisis zul je er niet mee voorspellen. Ook niet met GARCH modellen, ook al staan die dichter bij de realiteit dan de welbekende optiewaarderingstheorie van Black, Scholes en Merton uit 1973 waarmee Brownse beweging groot werd in de financiële wereld.