Guus Regts in de verdediging
Pas gepromoveerden brengen hun werk onder de aandacht.
Redacteur: Geertje Hek
G.M.Hek at uva.nl
Eerder verschenen in
Nieuw Archief voor Wiskunde, maart 2014, pp.26-27.
Graph Parameters and Invariants of the Orthogonal Group
Guus Regts
Op 22 november 2013 promoveerde Guus Regts aan de Universiteit van
Amsterdam bij prof.dr. Lex (Alexander) Schrijver op het proefschrift
Graph Parameters and Invariants of the Orthogonal Group. Hij werkte de
afgelopen vier jaar aan het CWI, waar de sfeer altijd goed was, zodat
werken niet echt als werken aanvoelde. Het leven als oio beviel dan
ook goed, ook vanwege de congressen in het buitenland die het mogelijk
maakten nieuwe mensen en landen/steden te leren kennen. Toen hij pas
negen maanden in dienst was werd zijn dochter geboren, het absolute
hoogtepunt van de afgelopen vier jaar. Regts genoot dan ook van de
mogelijkheid om zijn eigen tijd in te delen en zo een dag in de week met
haar thuis te kunnen zijn.
Snijvlak van algebra en combinatoriek
Zijn proefschrift gaat over verbanden tussen graafparameters en de
invariantentheorie van de orthogonale groep en enkele van haar
ondergroepen. Deze verbanden worden gegeven door zogenaamde
partitiefuncties van lijnkleuringmodellen. Lijnkleuringmodellen zijn
generalisaties van het Ising-Potts model uit de statistische mechanica
en werden geïntroduceerd als graafparameters door De la Harpe en
Jones in 1993. Het werk van Regts ligt op het snijvlak van algebra en
combinatoriek; aan de ene kant gebruikt
hij technieken uit de algebra (en algebraïsche meetkunde) om stellingen
over graafparameters te bewijzen en aan de andere kant worden grafen
en andere combinatorische objecten gebruikt om meer inzicht te
krijgen in bepaalde algebraïsche structuren.
Zijn onderzoek is gemotiveerd door recente resultaten op het gebied
van graaflimieten, een vrij nieuwe tak in de (discrete) wiskunde,
waarover in 2012 een boek verscheen van de hand van
László Lovász.
Lijnkleuringmodellen
Gegeven een graaf G, kan men de lijnen (of kanten) van G
kleuren met k kleuren. Dit hoeft geen propere kleuring te zijn,
d.w.z. lijnen die elkaar ontmoeten in een punt u van G mogen
dezelfde kleur hebben. Stel iedere kleur voor door een element van
{1,...,k}. In een punt u van G
geven de kleuren van de lijnen die u
bevatten dan een multideelverzameling van {1,...,k} die wordt
geïdentificeerd met een element van Nk.
Een k-kleur lijnkleuringmodel h is nu een afbeelding
h : Nk → C
die hieraan een complex
getal toekent. Door het product te nemen over alle punten in de graaf
van deze getallen krijgen we een nieuw complex getal, welke het
gewicht van de kleuring genoemd wordt. In de statistische mechanica
wordt dit het Boltzmann gewicht genoemd. De partitiefunctie
van h, ph,
is de graafparameter die aan een graaf het getal toekent dat
verkregen wordt door de gewichten te sommeren over alle kleuringen van
de lijnen:
Karakterisatie van graafparameters
In zijn proefschrift karakteriseert Regts welke graafparameters
partitiefuncties zijn van lijnkleuringmodellen, in termen van een
oneindig aantal vergelijkingen van de vorm
λ1f(G1)
+ ... + λnf(Gn)
= 0 voor
zekere n∈N,
λi∈{1,–1} en grafen Gi.
Deze vergelijkingen kunnen
beschouwd worden als een combinatorische interpretatie van een ideaal
in een polynoomring R met een oneindig aantal variabelen. In het
bewijs van de karakterisatie gebruikt Regts de Nullstellensatz van
Hilbert en de eerste en tweede hoofdstelling van de invariantentheorie
voor de orthogonale groep.
Een belangrijk hulpmiddel zijn zekere gemarkeerde grafen, die
fragmenten genoemd worden. Voor een lijnkleuringmodel h
kan men een afbeelding definiëren
van de ruimte van formele lineaire combinaties van fragmenten
naar de tensoralgebra,
In Regts' proefschrift wordt bewezen dat over R het beeld van die
afbeelding precies de deelalgebra van de tensoralgebra is die
gegeven wordt door de tensoren die invariant zijn onder de ondergroep
van de orthogonale groep die h stabiliseert. Over C
is de situatie
ietwat gecompliceerder, maar wordt een vergelijkbare stelling bewezen.
De partitiefunctie van een puntkleuringmodel is eenzelfde soort
uitdrukking als (1), alleen wordt de rol van punten en lijnen
omgedraaid (dus de som is over het aantal kleuringen van de punten
van de graaf). Deze partitiefuncties zijn generalisaties van het
aantal homomorfismen in een vaste graaf H.
Gebruikmakend van
geavanceerde meetkundige invarianten-theorie karakteriseert Regts voor
welke puntkleuringmodellen hun partitiefuncties gelijk zijn aan de
partitiefunctie van een lijnkleuringmodel over R.
Compacte baanruimtes in Hilbertruimtes
Gemotiveerd door de theorie van graaflimieten wordt in het laatste
hoofdstuk een stelling bewezen die aangeeft hoe je de ruimte van
G-banen in de eenheidsbal van een Hilbertruimte
(waar G een ondergroep
is van de groep van orthogonale transformaties van de Hilbertruimte)
van een pseudometriek kunt voorzien waarmee deze ruimte compact
wordt. Gebruikmakend van deze stelling wordt een start gemaakt met het
bestuderen van limieten van lijnkleuringmodellen.
Zijn stelling over compacte baanruimtes in Hilbertruimtes is zeer
algemeen en Regts verwacht dat daar wel mooie toepassingen uit te
halen zijn. In het bijzonder staan er al twee toepassingen in zijn
proefschrift en denkt Regts dat hij er nog een andere (reeds
bestaande) stelling eenvoudig mee kan bewijzen.
Diverse ervaringen
Het compleet vastzitten met een probleem vindt Regts niet altijd even
leuk; het gevoel dat je na een week werken niets bent opgeschoten is
soms best demotiverend. Gelukkig staan daar vaak uiteindelijk momenten
van inzicht tegenover die het harde werken weer de moeite waard
maken: één van zijn leukste ervaringen was dat hij na wekenlang
vrij vruchteloos te hebben nagedacht eindelijk op de juiste manier
naar een probleem keek en toen meteen de stelling kon opschrijven en
bewijzen. Wel jammer was dat daarna het resultaat vrij triviaal leek
en hij zich afvroeg waarom het nodig was om er zo lang over na te denken.
Het afronden van zijn proefschrift kostte Regts veel moeite, in het
bijzonder het zetten van de puntjes op de spreekwoordelijke i en het
polijsten van de tekst. Inmiddels is hij met hernieuwde energie als
post-doc begonnen bij Lex Schrijver aan de UvA. In die twee jaar hoopt
hij een beter beeld te krijgen van een eventuele toekomst als
onderzoeker of een toekomst in een geheel andere branche.