proefschrift Said El Merzguioui

Said El Merzguioui in de verdediging

Pas gepromoveerden brengen hun werk onder de aandacht.

Redacteur: Geertje Hek
G.M.Hek at uva.nl

Eerder verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, juni 2009, pp.134-135.

Fine aspects of pluripotential theory

       Said El Marzguioui
Said El Marzguioui

Naar een ander land verhuizen is een ingrijpende gebeurtenis. Nadat Said El Marzguioui in de zomer van 2003 vanuit Marokko naar Nederland kwam, heeft hij erg getwijfeld of hij wel de juiste beslissing had genomen. Hij moest wennen aan de cultuur, het weer en het landschap en hij moest van alles gaan leren. De taal, de normen en waarden, zelfs zijn rijbewijs moest hij opnieuw behalen. Hoewel dit alles zeker niet makkelijk was, was het de moeite waard. Op 18 februari 2009 sloot Said zijn aio-tijd aan de UvA succesvol af met de verdediging van zijn proefschrift Fine aspects of pluripotential theory. En bovendien voelt hij zich inmiddels beter thuis in Nederland dan in Marokko.

Pluripotentiaaltheorie en de pluri-fijne topologie
Van zijn promotor Jan Wiegerinck kreeg Said de opdracht om de eigenschappen van de zogenaamde pluri-fijne topologie te doorgronden. Said legt uit dat deze topologie voortkomt uit de pluripotentiaaltheorie, die op haar beurt kan worden beschreven als het bestuderen van de plurisubharmonische functies op de complexe vectorruimte Cn. Dergelijke functies zijn in vele opzichten analoog aan convexe functies. Een functie f op de reële lijn heet convex als de tweede afgeleide van f positief is. De vergelijkbare eis voor een plurisubharmonische functie is dat de zogenaamde complexe Monge-Ampere operator positief moet zijn.

Jan Wiegerinck
Jan Wiegerinck
Er is echter een belangrijk verschil tussen de twee begrippen. Een convexe functie is altijd continu, maar een plurisubharmonisch functie hoeft niet continu te zijn en kan bovendien de waarde −∞ toekennen. Omdat continuïteit in de wiskunde een topologisch begrip is, kan men de Euclidische topologie zodanig uitbreiden dat alle plurisubharmonische functies op Cn continu worden. De ‘kleinste’ topologie die alle plurisubharmonische functies continu maakt heet de pluri-fijne topologie. Het is een zeer gecompliceerde topologie, die niet voldoet aan de aftelbaarheidsaxioma's en dus niet metriseerbaar is. Maar het ergst van alles is dat deze topologie zo groot is dat alleen de eindige verzamelingen compact zijn. Een typische voorbeeld van een open verzameling ziet eruit als een gatenkaas met zoveel gaten dat er geen stukje kaas zonder gat meer uitgesneden kan worden.

Vallen en opstaan

Bent Fuglede
Bent Fuglede, 1972
Al in 2005 bewees Said met Jan Wiegerinck dat de pluri-fijne topologie lokaal samenhangend is en dat de pluri-fijne open verzamelingen toch een aangename structuur hebben. Dit resultaat beantwoordde een meer dan 20 jaar oude vraag van de Deen Bent Fuglede en vormt ook meteen de belangrijkste stelling van zijn proefschrift. Het afronden van het bewijs gaf Said een overwinningsgevoel, vooral omdat het zijn eerste echte bijdrage aan de wiskunde was. Naar aanleiding hiervan mocht hij op bezoek bij Bent Fuglede in Kopenhagen om meer te leren over diens theorie van fijne harmonische en subharmonische functies. Echter, Said leerde ook al snel dat onderzoek vaak gepaard gaat met vallen en opstaan: ongeveer twee maanden na het oplossen van Fugledes probleem ontdekte zijn promotor een ernstig gat in het bewijs. Dit was een zware tegenslag: het leek erop dat het hele bewijs instortte. Bovendien hing zijn hele onderzoeksproject van dit probleem af. Na vele slapeloze nachten en dagenlang hard werken wisten Said en zijn promotor uiteindelijk het gat te dichten: een enorme opluchting!

Kers op de taart
Het oplossen van Fugledes probleem, en daarmee het begrijpen van de pluri-fijne topologie, maakte het mogelijk om de theorie van fijne plurisubharmonische functies in pluri-fijne open verzamelingen te ontwikkelen. Deze vorm van pluripotentiaaltheorie is veel lastiger dan de gewone, want er zijn geen oneindige compacta, waardoor de gebruikelijke redeneringen niet opgaan.

De verzameling waarin een gewone plurisubharmonische functie min oneindig wordt, kom je op veel plaatsen in de wiskunde tegen en wordt de pluripolaire verzameling genoemd. Pluripolaire verzamelingen zijn ingewikkeld van structuur en vertonen een merkwaardig verschijnsel. Dankzij de theorie van fijne plurisubharmonische functies heeft Said veel vooruitgang geboekt in het begrip van de eigenschappen van pluripolaire verzamelingen.

In de zomer van 2008 bewees Said dat een fijne plurisubharmonische functie altijd continu is ten opzichte van de pluri-fijne topologie. Zijn promotor vond het een zeer belangrijke doorbraak en moedigde hem bijna dagelijks aan om na te denken over de mogelijke gevolgen en toepassingen van het resultaat. Inderdaad, kort daarna bewees Jan Wiegerinck dat de verzameling waarop een fijne plurisubharmonisch functie min oneindig wordt pluripolair is, een resultaat dat Said niet haalbaar achtte. Deze doorbraak vormde de kers op zijn promotietaart, want met dit tweede belangrijke resultaat was het schilderij compleet. De grondslagen van een nieuwe theorie waren nu echt gelegd.

Een bijzondere baan
Said vindt het aio-schap een bijzondere baan. Naast het verrichten van onderzoek volg je ook cursussen in binnen- en buitenland, waar je vakgenoten ontmoet en leert hoe ze wiskunde bedrijven. Ondanks de cultuurverschillen en taalbarrière begrijp je elkaar heel goed omdat de taal van de wiskunde universeel is. Said ging dan ook graag naar een zomerschool of conferentie: omdat er zo weinig mensen zijn met wie je je wiskundige ideeën kunt uitwisselen, voelt de kring van vakgenoten vaak als een familie.

Said heeft naast zijn onderzoek ook met veel plezier lesgegeven aan studenten van alle niveaus, van eerstejaars- tot en met masterstudenten. In het begin besteedde hij heel veel tijd aan het voorbereiden van de lessen. Hij had de Nederlandse taal pas geleerd en wilde helder kunnen uitleggen en geen taalfouten maken. Zoveel voorbereiding bleek echter niet nodig: de studenten begrepen hem goed en waardeerden het zeer dat hij lesgaf in het Nederlands. Het onderwijs geven vond hij belangrijk, omdat hij zo zijn wiskundige kennis kon overdragen. Maar hij heeft er zelf ook heel veel van geleerd. De vaardigheden van het lesgeven, de Nederlandse taal en, niet te vergeten, wiskunde. Veel wiskundige begrippen begreep hij pas echt toen hij ze aan de studenten moest uitleggen.

Wiskunde was mijn redding
Zoals gezegd, voelt Said zich inmiddels beter thuis in Nederland dan in Marokko. Hij is dankbaar voor de vele hulp die zijn promotor Jan Wiegerinck hem gaf bij het ‘inburgeren’. Hij is er echter van overtuigd dat de wiskunde zijn echte redding was. Had hij bijvoorbeeld rechten of economie gestudeerd, dan had hij de Nederlandse taal uitstekend moeten beheersen om zover te komen als hij nu gekomen is. Hij kent veel mensen die in Marokko zijn afgestudeerd maar in Nederland geen diploma konden halen vanwege de taalbarrière. Tot slot vertelt Said nog dat Nederland ook in belangrijke mate van Marokko verschilt in de toekomstperspectieven voor gepromoveerden. In Marokko kom je meestal maar moeilijk aan een baan na je promotie. Hier zijn er zeker voor gepromoveerde wiskundigen prima vervolgbanen te vinden. Zelf werkt Said sinds 1 oktober 2008 als credit risk analist bij ABN AMRO. Er komt redelijk wat wiskunde bij zijn nieuwe functie kijken en bovendien beschikt hij als wiskundige natuurlijk over de bekende vaardigheden die hard nodig zijn in de financiële wereld, zoals analytisch denken, ruimtelijk inzicht en abstractievermogen. En hoewel hij de pluri-fijne topologie niet kan toepassen om winst voor de bank te maken, is hij er voorlopig wel op zijn plaats!