26 december 2001, 1 januari 2002

Met plezier heb ik ook dit jaar weer naar de Nationale Wetenschapsquiz
gekeken. Ik wil nog wat commentaar leveren op de toelichtingen bij
een paar antwoorden op vragen zoals gegeven op webpagina
http://www.nwo.nl/actueel/evenementen/nationale+wetenschapsquiz/archief/quiz+2001

vraag 1
Bij deze toelichting worden onnodig lange en technische redeneringen
gegeven. De laatste alinea (door jullie een logische verklaring genoemd;
maar wat is hier het verschil tussen wiskundig en logisch?) suggereert een
kortere oplossing, maar maakt deze niet erg precies, zie het woord
"noodzakelijkerwijs". Hier is mijn uitwerking:

In de begintoestand zit in glas 1 een volume v aan wijn (alleen rode)
en in glas 2 een volume v aan wijn (alleen witte). Ook in de eindtoestand
bevatten beide glazen een volume v aan wijn, nu r rode wijn en dus v-r
witte wijn in glas 1 en w witte wijn dus v-w rode wijn in glas 2.
Wegens het behoud van rode wijn zal r+(v-w)=v, dus r=w. Dus de graden van
vermenging in glazen 1 en 2 zijn in de eindtoestand hetzelfde.

Het voordeel van dit bewijs is dat het toepasbaar is zonder kennis over
het tussenliggende proces: hoeveel malen er wat wordt overgeschept en hoe
goed er geroerd wordt.
Een gemiste kans dat deze elegante oplossing van dit elementaire probleem
niet als eerste vermeld is bij de TV-uitzending en op de website.

Overigens stoorde het mij dat in de tweede alinea van de uitwerking
(Wiskundig beschouwd  ...) er herhaaldelijk d/d+1 i.p.v. d/(d+1) wordt
geschreven en dat er d2 i.p.v. d^2 (of, in html, d<SUP>2</SUP> ) stond.


vraag 10
Er wordt in de toelichting aan voorbijgegaan dat hier strikt genomen
sprake is van verschillende niveaus van waar- of onwaarheid.
Ook wordt er aan voorbijgegaan dat we hier dicht tegen paradoxen aanzitten.
Daarom is het hier niet voldoende om te laten zien dat de ontkenning van
antwoord a) tot een tegenspraak leidt en dan te concluderen dat antwoord a)
juist is. Je moet ook nog laten zien dat "Jantje liegt" consistent is met
de andere gegevens: Jantje liegt, dus Pietje spreekt de waarheid, dus Klaasje
liegt, dus Jantje en Pietje liegen niet allebei, hetgeen consistent is.

Jan Lodder en Johan van Benthem zonden mij commentaar op hety bovenstaande.
Mede beinvloed door hun commentaar geef ik hieronder een meer precieze analyse.

Laat gegeven V_1,...,V_n in P(P{1,...,n}).
Definieer
V:={v in P{1,...,n} | v={i | v in V_i} }.
Nu doen we uitspraken W in P(P{1,...,n}).
Zijn deze waar of onwaar?
W is waar als W niet-lege doorsnede met V heeft.
De ontkenning van W is waar als het complement van W niet-lege doorsnede met
V heeft.
Het probleem is dus alleen goed gesteld voor gegeven W als V niet-leeg is en
V geheel in W of geheel in het complement van W ligt.
Als V leeg is dan zijn W en niet W beide onwaar.
Als V gedeeltelijk in W en gedeeltelijk in het complement van W ligt
dan zijn W en niet W beide waar.
Het probleem is dus alleen goed gesteld voor alle W als V precies 1 element
v bevat. In dat geval geldt W desda v in W.

In het geval van vraag 10 van de quiz:
n=3
V_1={{1,0,1},{1,0,0},{0,0,1},{0,0,0}}
V_2={{1,1,0},{1,0,0},{0,1,0},{0,0,0}}
V_3={{0,0,1},{0,0,0}}
V={{0,1,0}}, dus goed gesteld voor alle W.
v={0,1,0}
W_a={{0,1,1},{0,1,0},{0,0,1},{0,0,0}}
W_b={{1,0,1},{1,0,0},{0,0,1},{0,0,0}}
W_c={{0,0,1},{0,0,0}}
v in W_a, v niet in W_b, v niet in W_c.


vraag 14
De formulering "en in een rechte lijn gemeten even lang" is niet erg helder.
Beter zou zijn iets in de trant van: 

Twee punten in een vertikaal vlak, op verschillende hoogte maar het ene
punt niet recht onder het andere, worden op twee manieren door een
hellingbaan met elkaar verbonden, de ene baan een rechte lijn, de andere
baan enigszins hol.

In de toelichting vind ik de zin "De details van de berekening zullen
we u besparen" weinig stimulerend klinken. Waarom voor de geinteresseerde
geen referentie gegeven, bijv. naar hoofdstuk 5 in het boek
"Een complexe grootheid, leven en werk van Johan Bernoulli"
van J.A. van Maanen, Epsilon Uitgaven 34, Utrecht, 1995.


vraag 16
In de uitwerking wordt weer storend x2 en v2 geschreven waar kwadraten
worden bedoeld.
In de regel beginnend met F    moet C vervangen worden door k en moet het
                           max
laatste teken '/' vervangen worden door het teken '*'.
In "Een kortere lijn heeft een kleinere veerconstante" moet "kleinere
door "grotere" worden vervangen.


vraag 17
In "Antwoord B is dus juist" lijkt me "dus" misplaatst. Antwoord B is juist
vanwege de daarachtervolgende motivering, niet omdat A en C onjuist zijn.


                           Tom Koornwinder