De wiskunde van Liegroepen i.v.m. superberekening aan E8
aanvulling bij:
Superberekening aan E8
(door Alex van den Brandhof
op Kennislink)
auteur: Tom Koornwinder
doelgroep: lezers met enige algemene wiskundige
ontwikkeling
Groepen
Een (abstracte) groep is een verzameling G waarin een
vermenigvuldiging, een
invers en een eenheidselement gedefinieerd zijn:
-
voor elk tweetal elementen a en b in G is er een element a.b in G;
-
voor elk element a in G is er een element a-1 in G;
-
er is een element e in G.
Deze moeten aan de volgende eigenschappen voldoen:
-
(a.b).c=a.(b.c) (associativieit);
-
a.e=a=e.a;
-
a.a-1=e=a-1.a.
Een abstracte groep G kan vaak gerealiseerd worden als een transformatiegroep
van een andere verzameling X. Dan bestaat G uit alle transformaties van X
die bepaalde structuureigenschappen van X invariant laten. Het product
a.b van twee transformaties van X werkt op X als eerst de transformatie b
toepassen gevolgd door de transformatie a.
Het eenheidselement e werkt als de transformatie van X
die alles op zijn plaats laat. De inverse a-1 werkt als de
transformatie van X die elk punt weer terugstuurt naar het punt waar
het onder de transformatie a vandaan is gekomen.
Bijvoorbeeld de dihedrale groep D4
van 8 elementen is de groep van alle
transformaties (draaiingen en spiegelingen) die een vierkant op
zichzelf overvoeren.
Een ander voorbeeld is de groep SO(2) van alle draaiingen van een cirkel.
Een groep kan abels of niet-abels zijn. In een abelse groep
geldt altijd dat a.b=b.a, zie bijv. SO(2). Maar D4 is niet-abels.
Twee belangrijke klassen van groepen zijn de eindige groepen en de
Lie-groepen. Eindige groepen, zoals D4, zijn in zekere zin eenvoudig
door hun eindigheid, maar kunnen toch een heel gecompliceerde structuur
hebben, en daarbij ook nog ontzettend groot. Zie bijv. de
monstergroep met
808017424794512875886459904961710757005754368000000000 elementen.
Liegroepen
Liegroepen hebben een continue structuur. Een Liegroep G is tegelijk
een groep en een differentieerbare variëteit zo dat het product a.b van
twee elementen van G differentieerbaar van a en b afhangt.
Een differentieerbare variëteit van zekere dimensie n is in een
voldoende kleine omgeving van elk van zijn punten gewoon een stukje Euclidische
ruimte van dimensie n, maar in het groot wijkt hij doorgaans af van de
Euclidische ruimte. Neem bijvoorbeeld de aarde als boloppervlak.
In je directe omgeving lijkt de aarde een stukje plat vlak,
maar als je alsmaar rechtdoor reist
dan keer je weer op je uitgangspunt terug.
De groep SO(2) is duidelijk een voorbeeld van een Liegroep, waarbij
een draaiing bepaald wordt door de hoek φ waarover gedraaid wordt,
en het product van draaiingen over hoeken φ en ψ een draaiing geeeft
over een hoek φ+ψ, wat differentieerbaar afhangt van φ en ψ.
Een interessanter voorbeeld van een Liegroep
vormt de groep SO(3) van alle draaiingen van een boloppervlak..
Deze groep is niet-abels. Een handige manier om SO(3) te beschrijven
is door middel van 3×3 orthogonale matrices van determinant 1. Dit
zijn 3×3 arrays van reële getallen die je samengesteld kunt
denken uit drie 3-dimensionale kolomvectoren u,v,w. Dan moeten de vectoren
u,v,w lengte 1 hebben, ze moeten loodrecht op elkaar staan, en u,v,w moeten
dezelfde oriëntatie hebben als de vectoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
De vermenigvuldiging in de groep komt nu neer op matrixvermenigvuldiging.
Je kunt iets soortgelijks in dimensie n doen, en krijgt dan de
draaiingsgroep SO(n) of, als je ook spiegelingen toelaat, de
orthogonale groep O(n).
Alle inverteerbare n×n matrices vormen ook een groep onder
matrixvermenigvuldiging. Deze wordt GL(n,R) genoemd. Het is de groep
van alle inverteerbare lineaire transformaties van de n-dimensionale
vectorruimte Rn. De groep GL(n,R) heeft n2
coördinaten, de n2 reële getallen die een
n×n matrix vormen. Zo beschouwd is GL(n,R) een stuk van de
n2-dimensionale vectorruimte, maar niet die hele ruimte
omdat de matrix inverteerbaar moet zijn (dus zijn determinant niet 0 mag zijn).
GL(n,R) is een open deelverzameling van de n2-dimensionale
vectorruimte. Zo wordt GL(n,R) een (hele makkelijke)
n2-dimensionale differentieerbare variëteit, en daarmee
een Liegroep. (Hier gebruikten we open in de topologische zin,
en zullen dat dadelijk ook met gesloten doen.)
De Liegroep SO(n) kan worden opgevat als een ondergroep
van GL(n,R):
een deelverzameling van GL(n,R) zo dat het product van twee elementen
en de inverse van een element weer in die deelverzameling zitten.
Als deelverzameling blijkt SO(n) ook gesloten te zijn, en bovendien
een n(n-1)/2-dimensionale
deelvariëteit: in een omgeving van elk punt
van SO(n) kan SO(n) met n(n-1)/2 coördinaten beschreven worden.
Bovendien is SO(n) een begrensde deelverzameling van de
n2-dimensionale vectorruimte. Immers in een matrix in SO(n) heeft
elke kolomvector lengte 1. De gesloten en begrensde deelverzamelingen van
een eindigdimensionale reële vectorruimte worden ook compact
genoemd.
SO(n), en ook O(n), zijn compacte Liegroepen. Een stelling zegt dat elke
compacte Liegroep een gesloten ondergroep is van een Liegroep O(n).
Representaties
Een representatie van een groep G is een voorstelling van G
(niet persé 1 op 1) als groep van lineaire transformaties.
Dus eigenlijk een afbeelding van de groep G naar een matrixgroep
GL(n,R)
zo dat de groepsvermenigvuldiging door die afbeelding wordt gerespecteerd
(een groepshomomorfisme).
Men bekijkt nog liever complexe representaties. Dan wordt
G voorgesteld als groep van complexe lineaire transformaties, en men heeft
een groepshomomorfisme van G naar GL(n,C), de groep van alle
inverteerbare complexe n×n matrices.
Als G een Liegroep is, dan eist men ook nog dat het groepshomomorfisme
differentieerbaar is.
GL(n,C) heeft als belangrijke ondergroep de unitaire groep
U(n), dit is de groep van alle unitaire n×n matrices.
Hoewel een matrix uit U(n) als matrixelementen complexe getallen heeft,
is U(n) toch een reële Liegroep, die lokaal
geparametriseerd kan worden door n2 reële
coördinaten.
Een belangrijke klasse van representaties van een groep G vormen
de unitaire representaties. Dit zijn groepshomomorfismen van G
naar een unitaire groep U(n). Voor eindige groepen en voor compacte
Liegroepen kan bewezen worden dat elke representatie equivalent is met
een unitaire representatie. Unitaire representaties hebben de prettige
eigenschap dat ze volledig reducibel zijn: ze zijn te schrijven
als een som van unitaire representaties die niet verder te splitsen zijn.
Deze niet-splitsbare unitaire representaties heten irreducibel.
Het is bij een gegeven groep G een belangrijke opgave om al zijn
irreducibele unitaire representaties te beschrijven.
Enkelvoudige compacte Liegroepen
Compacte Liegroepen kunnen ook zelf opgesplitst worden als een product
van compacte Liegroepen die niet verder splitsbaar zijn. Deze
onsplitsbare compacte Liegroepen zijn ofwel een enkelvoudige
compacte Liegroep, waarbij ze
door een codenaam zoals A3 of E8 en door een Dynkin-diagram beschreven
worden (zie het algemene stuk), ofwel is het de abelse compacte Liegroep
SO(2). De representatietheorie van compacte Liegroepen is volledig bekend.
Enkelvoudige niet-compacte Liegroepen
Elke compacte enkelvoudige Liegroep is een reële vorm van een
complexe Liegroep, en deze complexe Liegroep heeft ook een of meer
niet-compacte Lie-groepen als reële vorm. Neem bijvoorbeeld SU(2),
de groep van unitaire 2×2 matrices van determinant 1, een
enkelvoudige compacte Liegroep met codenaam A1, van groot belang in
de quantummechanica.
Dit is de compacte reële vorm
van de complexe Liegroep SL(2,C), de groep van complexe
2×2 matrices van determinant 1 (min of meer de Lorentzgroep, die
belangrijk is in de speciale relativiteitstheorie).
Een niet-compacte reële vorm van SL(2,C) is
SL(2,R), de groep van reële
2×2 matrices van determinant 1.
De representatietheorie van niet-compacte enkelvoudige Liegroepen
is veel moeilijker dan in het compacte geval. In de eerste plaats zijn niet
alle representaties meer equivalent aan een unitaire representatie.
In de tweede plaats zijn de meeste representaties, ook de irreducibele,
niet meer eindig-dimensionaal. Een unitaire representatie van de groep
wordt nu een groepshomomorfisme naar de groep van unitaire transformaties
van een (mogelijk oneindig dimensionale) Hilbertruimte. Dit homomorfisme
moet ook nog aan bepaalde continuïteitseisen voldoen.
Toch wil men nog steeds graag alle irreducibele unitaire representaties
van zo'n groep kennen. Voor een aantal speciale niet-compacte enkelvoudige
Lie-groepen, waaronder SL(2,R), is dat gelukt.
Voor alle niet-compacte enkelvoudige Lie-groepen kan men door het
werk van Harish-Chandra (1923-1983)
de zogenaamde reguliere representatie ontbinden
(als directe integraal) in irreducibele unitaire representaties. Maar
veel irreducibele unitaire representaties vallen buiten die
ontbinding van de reguliere representatie. Men weet wel redelijk welke
irreducibele representaties kandidaat zijn om om unitair te zijn,
maar het is heel lastig om te bewijzen dat ze echt unitair zijn.
Dit zijn de grote problemen waar het team van het Atlas-project aan werkt.
Hiernaast werkt men ook aan de representatietheorie van p-adische
enkelvoudige groepen, welke waarschijnlijk nog moeilijker is.
De enkelvoudige Lie-groepen (compact, complex en reëel niet-compact)
hebben een zeer rijke structuurtheorie gebaseerd op allerlei soorten
ondergroepen. In het niet-compacte geval gaat het ondermeer om de
maximale compacte ondergroep, (abelse) Cartan-ondergroepen, de (eindige)
Weyl-groep en parabolische ondergroepen. Deze enorme machinerie, die
tegelijk zeer technisch en zeer esthetisch is, is volledig nodig als
theoretische voorbereiding op het zware computerwerk waar het Atlas-team
nu mee naar buiten is gekomen.
Nederlandse connectie
Het kennislinkartikel vermeldde al de belangrijke rol in deze E8-resultaten
die gespeeld werd door de van origine Nederlandse wiskundigen
Fokko du Cloux
(overleden in 2006) en
Marc van Leeuwen
(Poitiers, Frankrijk).
Pioniersarbeid betreffende de exceptionele enkelvoudige Liegroepen
werd verricht door Hans Freudenthal (1905-1990, sinds 1930 in Nederland).
Meer informatie
Veel van de bovenstaande begrippen vind je, uitgebreider
dan hier, besproken in Wikipedia. De Nederlandstalige Wikipedia
geeft al wat basisbegrippen, maar doorgaans is de Engelstalige Wikipedia
uitgebreider, en je bent er voor de geavanceerdere zaken helemaal op
aangewezen. Zie bijv.
Een schat aan informatie is te vinden op de site van het project
The Atlas of Lie Groups and Representations
(het project waarbinnen de
E8-berekeningen zijn uitgevoerd).
Een mooi computerprogramma om zelf te rekenen met (vooral compacte)
enkelvoudige Liegroepen en hun representaties is
het programma
LiE.
to Tom Koornwinder's home page