Notebook 5 in connection with the paper
"The Askey scheme as a four-manifold with corners",
Ramanujan J. (2009), DOI 10.1007/s11139-009-9208-7;
arXiv:0909.2822v2 [math.CA],
by Tom H. Koornwinder, email T.H.Koornwinder [at] uva.nl

This gives the computations for section 8.1 (From Wilson to Hermite along Continuous Hahn).

Last modified: 15 Sep 2009

Off[General::spell, General::spell1]

bnwilson=ρ (-(a^2)+(n (-1+b+c+n) (-1+b+d+n) (-1+c+d+n))/((-2+a+b+c+d+2 n) (-1+a+b+c+d+2 n))+((a+b+n) (a+c+n) (a+d+n) (-1+a+b+c+d+n))/((-1+a+b+c+d+2 n) (a+b+c+d+2 n))+σ);
cnwilson=(n (-1+a+b+n) (-1+a+c+n) (-1+b+c+n) (-1+a+d+n) (-1+b+d+n) (-1+c+d+n) (-2+a+b+c+d+n) (ρ^2))/((-3+a+b+c+d+2 n) (((-2+a+b+c+d+2 n))^2) (-1+a+b+c+d+2 n));

bnconthahn=ρ I(a+
((n (-1+b+c+n) (-1+b+d+n))/((-2+a+b+c+d+2 n) (-1+a+b+c+d+2 n)))
-(((a+c+n) (a+d+n) (-1+a+b+c+d+n))/((-1+a+b+c+d+2 n) (a+b+c+d+2 n))))+ρ σ;
cnconthahn=(n (-1+a+c+n) (-1+b+c+n) (-1+a+d+n) (-1+b+d+n)(-2+a+b+c+d+n) (ρ^2))/((-3+a+b+c+d+2 n) (((-2+a+b+c+d+2 n))^2) (-1+a+b+c+d+2 n));

bnmeixnerpollaczek=ρ(-((n+λ)/(Tan[ϕ]))+σ);
cnmeixnerpollaczek=(((ρ^2) n(n+2λ-1))/(4((Sin[ϕ])^2)));

bnjacobi=ρ((((β^2)-(α^2))/((2n+α+β)(2n+α+β+2)))+σ);
cnjacobi=(ρ^2) ((4n(n+α)(n+β)(n+α+β))/((2n+α+β-1)(((2n+α+β))^2)(2n+α+β+1)));

bnlaguerre=ρ(2n+α+1+σ);
cnlaguerre=(ρ^2)n(n+α);

bnhermite=ρ σ;
cnhermite=(ρ^2) n/2;

subswilson={a->((Subscript[a, 1])^(-1))-((1-((Subscript[a, 1])^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4]))/(2 ((Subscript[a, 1])^(3/2)) ((Subscript[a, 2])^2) (Subscript[a, 3]) (Subscript[a, 4])))I,b->((Subscript[a, 1])^(-1))((Subscript[a, 2])^(-1))-(( 1+((Subscript[a, 1])^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4]))/(2 ((Subscript[a, 1])^(3/2)) ((Subscript[a, 2])^2) (Subscript[a, 3]) (Subscript[a, 4])))I,c->((Subscript[a, 1])^(-1))+(( 1-((Subscript[a, 1])^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4]))/(2 ((Subscript[a, 1])^(3/2)) ((Subscript[a, 2])^2) (Subscript[a, 3]) (Subscript[a, 4])))I,d->((Subscript[a, 1])^(-1))((Subscript[a, 2])^(-1))+(( 1+((Subscript[a, 1])^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4]))/(2 ((Subscript[a, 1])^(3/2)) ((Subscript[a, 2])^2) (Subscript[a, 3]) (Subscript[a, 4])))I,ρ->(2^(3/2)) ((Subscript[a, 1])^2)((Subscript[a, 2])^2)((Subscript[a, 3])^2) (Subscript[a, 4]),σ-> - (1/(4 ((Subscript[a, 1])^3) ((Subscript[a, 2])^4) ((Subscript[a, 3])^2) ((Subscript[a, 4])^2)))+((1-(Subscript[a, 2]))/(2((Subscript[a, 1])^(5/2)) ((Subscript[a, 2])^3) (1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])) ((Subscript[a, 3])^2) (Subscript[a, 4])))};
bnwilson2=(2^(-1/2))(2 (n^4) (Subscript[a, 1]^4) (Subscript[a, 2]^4) (Subscript[a, 3]^2) (Subscript[a, 4])(1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]))+4 (n^3) (Subscript[a, 1]^3) (Subscript[a, 2]^3)  (Subscript[a, 3]^2) (Subscript[a, 4])(2+2 (Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])) (1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]))+(n^2) (Subscript[a, 1]^(3/2)) (Subscript[a, 2]) (2-2 (Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1]^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4])(1+ (Subscript[a, 2]) -(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) )+(Subscript[a, 1]^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2) (Subscript[a, 4])(10 +34 (Subscript[a, 2]) -20 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) +34  (Subscript[a, 2]^2) -44 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]^2)+12 (Subscript[a, 1]^2) (Subscript[a, 2]^2) +10  (Subscript[a, 2]^3) -20 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]^3) +12 (Subscript[a, 1]^2) (Subscript[a, 2]^3) -2 (Subscript[a, 1]^3) (Subscript[a, 2]^3) ))+n (Subscript[a, 1]^(1/2)) (2+2 (Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])) (2-2 (Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 1]^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4])(1+ (Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]))+2 (Subscript[a, 1]^(1/2)) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2) (Subscript[a, 4])(1+5  (Subscript[a, 2])-2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])+5  (Subscript[a, 2]^2)-6 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]^2)+ (Subscript[a, 1]^2) (Subscript[a, 2]^2)+ (Subscript[a, 2]^3)-2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]^3)+ (Subscript[a, 1]^2) (Subscript[a, 2]^3)))+(1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])) (2 (Subscript[a, 1]^(1/2))-2 (Subscript[a, 1]^(1/2)) (Subscript[a, 2])+(Subscript[a, 4])+2 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4])+(Subscript[a, 2]^2) (Subscript[a, 4])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]^2) (Subscript[a, 4])+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2) (Subscript[a, 4])(1+2 (Subscript[a, 2]) - (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) + (Subscript[a, 2]^2) - (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]^2) )))×
(((1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))^(-1))(((1+(Subscript[a, 2])+(n-1) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))^(-1))(((1+(Subscript[a, 2])+n (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))^(-1));
Simplify[bnwilson2==(bnwilson/.subswilson)]
cnwilson2= 
(1/2)n (1+((Subscript[a, 3])^2)(((1+(Subscript[a, 2]) +(n-1) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))^2)) (1+(Subscript[a, 1]) ((Subscript[a, 2])^2) ((Subscript[a, 3])^2) ((Subscript[a, 4])^2)(((1+ (Subscript[a, 2]) +(n-1) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))^2))×((2-(Subscript[a, 1])+n (Subscript[a, 1])) (2+2 (Subscript[a, 2])+(n-2) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])) (2+(n-1) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))/((1+ (Subscript[a, 2])+( n -(1/2))(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]))(((1+(Subscript[a, 2])+(n-1) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))^2) (1+ (Subscript[a, 2])+( n-(3/2)) (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])));
Simplify[cnwilson2==(cnwilson/.subswilson)]

Wilson -> Hermite:  (Subscript[a, 1])->0

subshermite={ρ->(((2^(3/2))  (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) ((Subscript[a, 3])^2)))^(1/2)))/(((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2))),σ->(((((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2)) (1+4 (Subscript[a, 2]) ((Subscript[a, 3])^2)) (Subscript[a, 4]))/(4 (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) ((Subscript[a, 3])^2)))^(1/2))))};
bnhermite2=Simplify[(bnwilson2/.(Subscript[a, 1])->0)];
cnhermite2=Simplify[(cnwilson2/.(Subscript[a, 1])->0)];
Simplify[bnhermite2==(bnhermite/.subshermite)]
Simplify[cnhermite2==(cnhermite/.subshermite)]

Wilson -> Meixner-Pollaczek: (Subscript[a, 2])->0

bnmeixnerpollaczek2=Simplify[(bnwilson2/.(Subscript[a, 2])->0)];
cnmeixnerpollaczek2=Simplify[(cnwilson2/.(Subscript[a, 2])->0)];
subsmeixnerpollaczek={λ->((Subscript[a, 1])^(-1)),ϕ->ArcTan[(Subscript[a, 3])],ρ->-(2^(3/2)) ((Subscript[a, 1])^(1/2))(Subscript[a, 3]),σ->((2-(Subscript[a, 1]))/(2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 3])))-(1/4)((Subscript[a, 1])^(-1/2)) ((Subscript[a, 3])^(-1))(Subscript[a, 4])};
Simplify[bnmeixnerpollaczek2==(bnmeixnerpollaczek/.subsmeixnerpollaczek)]
Simplify[cnmeixnerpollaczek2==(cnmeixnerpollaczek/.subsmeixnerpollaczek)]

Wilson -> Jacobi: (Subscript[a, 3])-> 0

bnjacobi2=Simplify[bnwilson2/.(Subscript[a, 3])->0];
cnjacobi2=Simplify[cnwilson2/.(Subscript[a, 3])->0];
subsjacobi={α->2((Subscript[a, 1])^(-1))-1,β->2((Subscript[a, 1])^(-1))((Subscript[a, 2])^(-1))-1,ρ->-(2^(1/2))((Subscript[a, 1])^(-1/2))((Subscript[a, 2])^(-1)),σ->-((1-(Subscript[a, 2]))/(1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2])))-(1/2)((Subscript[a, 1])^(1/2))(Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 4])};
Simplify[bnjacobi2==(bnjacobi/.subsjacobi)]
Simplify[cnjacobi2==(cnjacobi/.subsjacobi)]

Wilson -> Continuous Hahn: (Subscript[a, 4])->0

bnconthahn2=Simplify[bnwilson2/.(Subscript[a, 4])->0];
cnconthahn2=Simplify[cnwilson2/.(Subscript[a, 4])->0];
subsconthahn={a->((I+2 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]))/(2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]))),b->((-I+2 (Subscript[a, 3]))/(2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]))),c->((-I+2 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]))/(2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]))),d->((I+2 (Subscript[a, 3]))/(2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]))),ρ->(2^(3/2)) ((Subscript[a, 1])^(1/2)) (Subscript[a, 3]),σ->((1-(Subscript[a, 2]))/(2 (Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3])(1+(Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]))))};
Simplify[bnconthahn2==(bnconthahn/.subsconthahn)]
Simplify[cnconthahn2==(cnconthahn/.subsconthahn)]

Jacobi -> Jacobi: (Subscript[a, 4])->0

subsjacobi2=subsjacobi/.(Subscript[a, 4])->0;
σ0=(2^(-1/2))(Subscript[a, 4]);
Simplify[subsjacobi2{1,1,1,0}==subsjacobi{1,1,1,0}]
Simplify[(σ/.subsjacobi2)+((σ0)/((ρ/.subsjacobi2)))==(σ/.subsjacobi)]
bnjacobi3=bnjacobi2/.(Subscript[a, 4])->0;
cnjacobi3=cnjacobi2/.(Subscript[a, 4])->0;
Simplify[bnjacobi3==(bnjacobi/.subsjacobi2)]
Simplify[cnjacobi3==(cnjacobi/.subsjacobi2)]

Meixner-Pollaczek -> Meixner-Pollaczek: (Subscript[a, 4])->0

subsmeixnerpollaczek2=subsmeixnerpollaczek/.(Subscript[a, 4])->0;
σ0=(2^(-1/2))(Subscript[a, 4]);
Simplify[subsmeixnerpollaczek2{1,1,1,0}==subsmeixnerpollaczek{1,1,1,0}]
Simplify[(σ/.subsmeixnerpollaczek2)+((σ0)/((ρ/.subsmeixnerpollaczek2)))==(σ/.subsmeixnerpollaczek)]
bnmeixnerpollaczek3=bnmeixnerpollaczek2/.(Subscript[a, 4])->0;
cnmeixnerpollaczek3=cnmeixnerpollaczek2/.(Subscript[a, 4])->0;
Simplify[bnmeixnerpollaczek3==(bnmeixnerpollaczek/.subsmeixnerpollaczek2)]
Simplify[cnmeixnerpollaczek3==(cnmeixnerpollaczek/.subsmeixnerpollaczek2)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 4])->0

subshermite4=subshermite/.(Subscript[a, 4])->0;
σ0=(2^(-1/2))(1+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2)) (Subscript[a, 4]);
Simplify[(ρ/.subshermite4)==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite4)+((σ0)/((ρ/.subshermite4)))==(σ/.subshermite)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 3])->0

subshermite3=subshermite/.(Subscript[a, 3])->0;
ρ0=(((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2));
σ0=(((1+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2)-(Sqrt[1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)])) (Subscript[a, 4]))/((2^(1/2))  (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))));
Simplify[(ρ/.subshermite3)ρ0==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite3)+((σ0)/((ρ/.subshermite3)))==(σ/.subshermite)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 2])->0

subshermite2=subshermite/.(Subscript[a, 2])->0;
ρ0=(( (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2)))/( (((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2))(((1+(Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))));
σ0=(((((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2)) (((1+(Subscript[a, 3]^2)))^(1/2)) (1+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2)) (Subscript[a, 4]))/((2^(1/2))(((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))))-(2^(-1/2))(Subscript[a, 4]);
Simplify[(ρ/.subshermite2)ρ0==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite2)+((σ0)/((ρ/.subshermite2)))==(σ/.subshermite)]

Continuous Hahn -> Jacobi: (Subscript[a, 3])->0

Simplify[(bnjacobi/.subsjacobi2)==(bnconthahn2/.(Subscript[a, 3])->0)]
Simplify[(cnjacobi/.subsjacobi2)==(cnconthahn2/.(Subscript[a, 3])->0)]

Continuous Hahn -> Meixner-Pollaczek: (Subscript[a, 2])->0

Simplify[(bnmeixnerpollaczek/.subsmeixnerpollaczek2)==(bnconthahn2/.(Subscript[a, 2])->0)]
Simplify[(cnmeixnerpollaczek/.subsmeixnerpollaczek2)==(cnconthahn2/.(Subscript[a, 2])->0)]

Continuous Hahn -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite4)==(bnconthahn2/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite4)==(cnconthahn2/.(Subscript[a, 1])->0)]

Jacobi -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite3)==(bnjacobi2/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite3)==(cnjacobi2/.(Subscript[a, 1])->0)]

Meixner-Pollaczek -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite2)==(bnmeixnerpollaczek2/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite2)==(cnmeixnerpollaczek2/.(Subscript[a, 1])->0)]

Jacobi -> Laguerre: (Subscript[a, 2])->0

bnlaguerre2=Simplify[bnjacobi2/.(Subscript[a, 2])->0];
cnlaguerre2=Simplify[cnjacobi2/.(Subscript[a, 2])->0];
subslaguerre={α->2((Subscript[a, 1])^(-1))-1,ρ->(2^(1/2))((Subscript[a, 1])^(1/2)),σ->1-2((Subscript[a, 1])^(-1))+((Subscript[a, 1])^(-1/2))(Subscript[a, 4])/2};
Simplify[bnlaguerre2==(bnlaguerre/.subslaguerre)]
Simplify[cnlaguerre2==(cnlaguerre/.subslaguerre)]

Meixner-Pollaczek -> Laguerre: (Subscript[a, 3])->0

bnlaguerre2==(bnmeixnerpollaczek2/.(Subscript[a, 3])->0)
cnlaguerre2==(cnmeixnerpollaczek2/.(Subscript[a, 3])->0)

Laguerre -> Laguerre: (Subscript[a, 4])->0

subslaguerre2=subslaguerre/.(Subscript[a, 4])->0;
σ0=(2^(-1/2))(Subscript[a, 4]);
Simplify[subslaguerre2{1,1,0}==subslaguerre{1,1,0}]
Simplify[(σ/.subslaguerre2)+((σ0)/((ρ/.subslaguerre2)))==(σ/.subslaguerre)]
bnlaguerre3=bnlaguerre2/.(Subscript[a, 4])->0;
cnlaguerre3=cnlaguerre2/.(Subscript[a, 4])->0;
Simplify[bnlaguerre3==(bnlaguerre/.subslaguerre2)]
Simplify[cnlaguerre3==(cnlaguerre/.subslaguerre2)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 2])->0, (Subscript[a, 3])->0

subshermite23=subshermite3/.(Subscript[a, 2])->0;
ρ0=(( (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2)))/( (((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2))));
σ0=(((((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2)) (1+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2)) (Subscript[a, 4]))/((2^(1/2))(((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))))-(2^(-1/2))(Subscript[a, 4]);
Simplify[(ρ/.subshermite23)ρ0==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite23)+((σ0)/((ρ/.subshermite23)))==(σ/.subshermite)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 3])->0, (Subscript[a, 4])->0

subshermite34=subshermite4/.(Subscript[a, 3])->0;
ρ0= (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2));
σ0= (((2^(-1/2))(Subscript[a, 4])(1+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2)))/(((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2)));
Simplify[(ρ/.subshermite34)ρ0==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite34)+((σ0)/((ρ/.subshermite34)))==(σ/.subshermite)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 2])->0, (Subscript[a, 4])->0

subshermite24=subshermite2/.(Subscript[a, 4])->0;
ρ0= ((((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))/((((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2))(((1+(Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))));
σ0= (((2^(-1/2))(Subscript[a, 4])(((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2))(((1+(Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))(1+4 (Subscript[a, 2]) (Subscript[a, 3]^2)))/(((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2)));
Simplify[(ρ/.subshermite24)ρ0==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite24)+((σ0)/((ρ/.subshermite24)))==(σ/.subshermite)]

Jacobi -> Laguerre: (Subscript[a, 2])->0

Simplify[(bnlaguerre/.subslaguerre2)==(bnjacobi3/.(Subscript[a, 2])->0)]
Simplify[(cnlaguerre/.subslaguerre2)==(cnjacobi3/.(Subscript[a, 2])->0)]

Meixner-Pollaczek -> Laguerre: (Subscript[a, 3])->0

Simplify[(bnlaguerre/.subslaguerre2)==(bnmeixnerpollaczek3/.(Subscript[a, 3])->0)]
Simplify[(cnlaguerre/.subslaguerre2)==(cnmeixnerpollaczek3/.(Subscript[a, 3])->0)]

Jacobi -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite34)==(bnjacobi3/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite34)==(cnjacobi3/.(Subscript[a, 1])->0)]

Meixner-Pollaczek -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite24)==(bnmeixnerpollaczek3/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite24)==(cnmeixnerpollaczek3/.(Subscript[a, 1])->0)]

Laguerre -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite23)==(bnlaguerre2/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite23)==(cnlaguerre2/.(Subscript[a, 1])->0)]

Hermite -> Hermite: (Subscript[a, 2])->0,  (Subscript[a, 3])->0, (Subscript[a, 4])->0

subshermite234=subshermite34/.(Subscript[a, 2])->0;
ρ0=((((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) (Subscript[a, 3]^2)))^(1/2))/(((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2)));
σ0=(((((1+(Subscript[a, 2])))^(3/2)) (1+4 (Subscript[a, 2]) ((Subscript[a, 3])^2)) (Subscript[a, 4]))/((2^(1/2)) (((1+(((1+(Subscript[a, 2])))^2) ((Subscript[a, 3])^2)))^(1/2))));
Simplify[(ρ/.subshermite234)ρ0==(ρ/.subshermite)]
Simplify[(σ/.subshermite234)+((σ0)/((ρ/.subshermite234)))==(σ/.subshermite)]

Laguerre -> Hermite: (Subscript[a, 1])->0

Simplify[(bnhermite/.subshermite234)==(bnlaguerre3/.(Subscript[a, 1])->0)]
Simplify[(cnhermite/.subshermite234)==(cnlaguerre3/.(Subscript[a, 1])->0)]