Physica-lezing

In de laatste twintig jaar is de snaartheorie de belangrijkste kandidaat geworden voor een quantummechanische beschrijving van de zwaartekracht. Het is daarmee op dit moment de beste hoop om een antwoord te krijgen op een aantal grote openstaande vragen over de natuur, niet in het minst de vraag wat er rond de big bang gebeurde en wat de ultieme beschrijving is van ruimte en tijd, materie en krachten. Ik zal hier vooral proberen in te gaan op de aard van de problematiek. Verder wil ik laten zien hoe in recent theoretisch werk de contouren van een oplossing zichtbaar lijken te worden binnen de snaartheorie. Maar laat ik vooral benadrukken dat naar mijn mening de snaartheorie allereerst een intellectuele speurtocht is, eerder een exploratie van de theoretische ideeënruimte dan een definitieve "theorie van alles".

Mijn belangrijkste punt zal zijn dat binnen snaartheorie en quantumgravitatie drie "grote ideeën" van de theoretische fysica, die a-priori logisch onafhankelijk zijn, op een natuurlijke wijze verenigd worden.

Het allereerste idee is dat gravitatie beschreven wordt door de meetkunde van ruimte en tijd. Volgens Einsteins algemene relativiteitstheorie zijn ruimte en tijd niet een vast absoluut gegeven, maar een dynamische entiteit met een eigen fysische wil. De aanwezigheid van materie en energie geeft aanleiding tot de kromming van de ruimtetijd en deze kromming manifesteert zich als de zwaartekracht. Daarmee wordt de zwaartekracht als het ware opgelost in de meetkunde. Einsteins droom was om uiteindelijk op deze wijze in een geünificeerde theorie alle materie en alle krachten te vangen in ruimte en tijd.

Het tweede grote idee is dat ijksymmetrieën de interactie tussen deeltjes beschrijven. Dit idee is op spectaculaire wijze bevestigd in het standaardmodel van de elementaire deeltjesfysica. Invariantie onder symmetrieën is natuurlijk een universeel principe in de fysica, maar het is opvallend hoe krachtig dit principe wordt als we lokale symmetrieën beschouwen, dat wil zeggen, symmetrieën waarbij we in ieder punt van de ruimte en tijd een onafhankelijke transformatie kunnen toepassen. Als we eisen dat het systeem invariant is onder een ijksymmetrie, dan volgt daar uit dat er een fysisch veld ? een ijkveld ? moet bestaan. Intuïtief stelt zo'n ijkveld ons in staat de fysica in twee ruimtetijdpunten te vergelijken. De quanta van het ijkveld, bijvoorbeeld de fotonen in het geval van elektromagnetisme, beschrijven dan vervolgens de interacties tussen de deeltjes.

Het derde grote idee betreft snaren of meer algemeen uitgebreide, niet-puntvormige objecten (bijvoorbeeld membranen). Historisch gesproken vond de snaartheorie haar oorsprong in de theorie van de sterke kernkrachten. Eind jaren 1960, vóór de ontwikkeling van de zeer succesvolle ijktheorie van de quantumchromodynamica (QCD), werden snaren gebruikt om de binding van quarks tot mesonen en baryonen te beschrijven. Als we over deze sterke wisselwerkingen nadenken in de traditie van Faraday in plaats van Maxwell, dat wil zeggen als we de krachten voorstellen via fluxlijnen in plaats van een lokaal ijkveld, dan zullen deze fluxlijnen zich niet vrij door de ruimte verspreiden maar samentrekken tot fluxtubes, met de quarks op de uiteinden, zie figuur 1.

Met de komst van de niet-Abelse ijktheorieën zijn deze QCD-snaren geenszins uit beeld gebleven. Confinement, het verschijnsel dat quarks en gluonen bij lage energie opgesloten en dus niet waarneembaar zijn, vertelt ons juist dat de fluxlijnen inderdaad samentrekken. Alleen lijken de resulterende snaren slechts een effectieve en niet een fundamentele beschrijving te geven. In de jaren 1970 werd duidelijk dat het spectrum van de gesloten snaar ook een massaloos spin-twee deeltje bevat, een excitatie die alleen opgevat kan worden als een graviton, het quantum van het zwaartekrachtsveld. Verrassend genoeg gaven de snaarinteracties bij lage energie inderdaad Einsteins vergelijkingen. Daarmee begon de snaartheorie een tweede carrière als een mogelijke fundamentele beschrijving van de quantumzwaartekracht.

Ik zal betogen dat in de moderne kijk deze drie kernbegrippen -- gravitatie, ijksymmetrie en snaren -- onder het welwillend oog van de quantummechanica in zekere zin equivalent worden. (De "magische kubus" van figuur 2.) Beter gezegd, ieder van de drie theorieën geeft een goede beschrijving van een overkoepelend theoretisch bouwwerk, maar alleen voor specifieke waarden van de parameters, zeg maar in verschillende fases van de theorie. De ultieme formulering van de theorie is nog een groot vraagteken, ook al liggen vele ingrediënten op tafel. Vanuit mijn optiek is het veel te vroeg te vragen wat deze theorie precies is. Voorlopig zijn we eerder bezig een aantal woordenboeken te construeren die ons in staat stelt de begrippen uit de drie werelden in elkaar te kunnen vertalen. Zo zal ik uitleggen hoe de fysica van zwarte gaten direct gerelateerd is aan het verschijnsel van confinement in ijktheorieën en het bestaan van branen in de snaartheorie. De zoektocht is nog steeds naar de Rosettasteen die al deze vertalingen compleet maakt.

Het is een frustrerend feit (of een vruchtbare paradox) dat de twee grote bouwwerken van de twintigste-eeuwse fysica, Einsteins relativiteitstheorie en de quantummechanica van Bohr, Heisenberg, Dirac, Feynman en vele anderen, principieel niet compatibel zijn. We hebben een uitstekende beschrijving van zowel de wereld van het hele kleine als het hele grote, beide experimenteel geverifieerd met onwaarschijnlijke precisie, maar deze twee beschrijvingen zijn in directe tegenspraak als we ze tegelijkertijd willen toepassen. Een gecombineerde theorie van quantumgravitatie ontbreekt.

Planck vond al in 1900 dat het bestaan van zijn Planckconstante ? in combinatie met de lichtsnelheid c impliceerde dat er een natuurlijke lengteschaal of energieschaal is geassocieerd met de zwaartekracht. In natuurlijke eenheden met h=c=1 krijgt Newtons constante G namelijk de dimensie van lengtekwadraat. De geassocieerde Plancklengte van zo'n 10^-35 meter is de kleinste afmeting die in de natuur voorkomt en de natuurlijke schaal voor quantumeffecten binnen de zwaartekracht. Als we het hele nu zichtbare universum (een bal ter grootte van de Hubblestraal, zo'n 10²⁵ meter) verkleinen tot een bacterie, dan zal een bacterie in dit schaalmodel de grootte hebben van de Plancklengte. (Opvallend genoeg ligt de schaal van het leven dus halverwege de grootste en de kleinste schaal die we in de fysica kennen.) Het wordt niet altijd geapprecieerd dat het hiërarchieprobleem -- de vraag waarom er zo'n zestig ordes van grootte tussen de extremen liggen -- in principe gesteld en beantwoord moet worden in de fysica.

Waarom hebben we eigenlijk een theorie van quantumgravitatie nodig? Ten eerste hebben Roger Penrose en Stephen Hawking laten zien dat de relativiteitstheorie incompleet is. Onder generieke omstandigheden ontwikkelen de oplossingen van Einsteins vergelijkingen singulariteiten. Dat wil zeggen, ergens in de ruimtetijd wordt de kromming van het gravitationele veld oneindig sterk en de klassieke theorie verliest daar haar betekenis en quantumeffecten worden sterk. Deze singulariteiten zijn overal om ons heen. De grootste singulariteit is ongetwijfeld de big bang, toen de kromming overal oneindig sterk werd, maar er bevinden zich ook singulariteiten binnen zwarte gaten. Zwarte gaten zijn in korte tijd van esoterische speculaties van theoretische fysici en science-fictionschrijvers tot centrale objecten in de moderne astrofysica geworden. Naast de vele kandidaten voor zwarte gaten met de massa van een ster zijn er nu overtuigende aanwijzingen dat in het centrum van bijna ieder sterrenstelsel een gigantisch zwart gat aanwezig is dat is samengesteld uit miljoenen zonnemassa's.

Ook al bevat een zwart gat een singulariteit, deze is voor de buitenwereld afgeschermd door een waarnemingshorizon waaruit niets, zelfs het licht niet, kan ontsnappen. In zekere zin moet het mogelijk zijn een complete fysische beschrijving te kunnen geven met gebruik van alleen de ruimtetijd buiten de horizon. Hier speelt de quantummechanica een belangrijke rol want deze laat de lege ruimte bevolken door virtuele processen, processen waarbij uit het niets paren deeltjes ontstaan en ook weer verdwijnen, gebruikmakend van het gedoogbeleid van Heisenbergs onzekerheidsrelaties. Hawking heeft laten zien dat als een van deze deeltjes achter de horizon verdwijnt, de partner wordt gepromoveerd tot een echt deeltje dat zich manifesteert als thermische straling. Quantummechanisch is een zwart gat daarmee niet zwart, maar heeft een temperatuur, en uiteindelijk zal het door deze tunnelingsprocessen al zijn massa verliezen, maar de precieze beschrijving vraagt om een theorie van quantumgravitatie.

Het Hawkingeffect geeft al aan hoe cruciaal de rol van het vacuüm is. De lege ruimte is misschien wel het slechts begrepen fysische verschijnsel, hoewel het vanuit een public relations perspectief misschien niet erg handig is daar veel ruchtbaarheid aan te geven. De bovengenoemde virtuele processen geven aanleiding tot een vacuümenergie (het befaamde Casimireffect) die kan opgevat worden als de elasticiteit van de ruimtetijd. De vacuümenergie is de afgelopen jaren met groeiende precisie gemeten met het verrassende resultaat dat zo'n 70% van alle energie in het heelal in deze vorm ligt opgesloten. (Verder is 25% samengesteld uit de mysterieuze donkere materie, zodat onze huidige fysica slechts 5% van alle energie in het heelal beschrijft!) Een ruwe berekening geeft echter een bijdrage die zo'n 120 ordes groter is. Dit is gemakkelijk de grootste theoretische misser van de geschiedenis. Ergens binnen de wetten van de quantumzwaartekracht ligt het mysterie van de onwaarschijnlijke lichtheid van de vacuümenergie verborgen.

Alhoewel snaren op een succesvolle wijze de verstrooiing van gravitonen kunnen beschrijven, kwam de werkelijke doorbraak in ons begrip van de snaartheorie met de komst van hogerdimensionale objecten, (mem)branen genoemd. De mathematische formulering van zo'n braan is gegeven door Joseph Polchinski. Het is simpelweg een plaats waar snaren kunnen eindigen. Op het moment dat we branen in de theorie toelaten hebben we dus automatisch te maken met open snaren. Net zoals gesloten snaren zich bij lage energie gedragen als gravitonen, zo manifesteren open snaren zich bij lage energie als fotonen of gluon, de quanta van ijkvelden. Maar deze ijkvelden zijn dan wel opgesloten in de braan. Daarmee zijn de ijkdeeltjes een beetje als de bewoners van Flatland, gevangen in een lagerdimensionale wereld.

Intuïtief kunnen we zo'n braan voorstellen als de horizon van een zwart gat. Als we een gesloten snaar voorstellen die half door de horizon naar binnen is gevallen dan krijgen we een cartoonversie van een open snaar op een braan, zie figuur 3. Deze beschrijving van zwarte gaten met behulp van branen is zeer succesvol gebleken. Zo kan bijvoorbeeld een microscopische beschrijving van de Hawkingstraling gegeven worden waarbij twee open snaren op de braan recombineren tot een gesloten snaar die vervolgens van de braan kan ontsnappen de ruimtetijd in.

Een fascinerend aspect van branen is dat er een natuurlijke dualiteit is tussen open en gesloten snaren. Bekijk het proces van figuur 4. Dit tweedimensionale oppervlak gespannen tussen twee branen heeft twee equivalente interpretaties als een ruimtetijddiagram. Als we de tijd verticaal rond laten gaan dan beschrijft het diagram een lus van open snaren, een virtueel quantumproces waarbij een paar van open snaren ontstaat en weer verdwijnt. Deze interpretatie is natuurlijk in de limiet waarbij de onderlinge afstand van de branen klein is, zoals in figuur 4b. Dan kunnen we de open snaar benaderen door een ijkveld. Merk op dat de massa van zo'n open snaar evenredig is met de afstand. Korte afstand in ruimtetijd correspondeert dus met lage energie op de braan. (En het is in het algemeen juist dit lage-energiegedrag dat voor ijktheorieën moeilijk te begrijpen is.)

Er is echter een tweede interpretatie. Voor grote afstand, zoals in figuur 4c, is het natuurlijker de tijd van links naar rechts te laten lopen en het diagram te interpreteren als een gesloten snaar die uitgezonden wordt door de linker braan en geabsorbeerd wordt door de rechter. In de lage-energielimiet kunnen we de gesloten snaar vervangen door een graviton, en het proces wordt niets anders dan de diagrammatische weergave van Newtons 1/r² wet als een uitwisseling van gravitonen.

Eén en hetzelfde proces kan dus een interpretatie hebben in termen van de quantumijktheorie of van de klassieke zwaartekracht. Dit leidt tot een interessant paradigma binnen de snaartheorie. Zwaartekracht en de meetkunde van ruimte en tijd ontstaan als een effectief verschijnsel, alleen zichtbaar op afstanden groot ten opzichte van de Planckschaal, als allerlei andere vrijheidsgraden (hier de open snaren) zijn uitgemiddeld. Op korte afstanden regeren ijktheorieën en is zwaartekracht onzichtbaar. De relatie gravitatie/ijktheorie is dan vergelijkbaar met de rolverdeling tussen de thermodynamica en de statistische mechanica. Ruimte en tijd zijn als thermodynamische grootheden zoals temperatuur en druk. Dit zijn afgeleide begrippen in de statistische mechanica die slechts een zinvolle betekenis krijgen wanneer we grote aantallen deeltjes beschouwen. Op dezelfde wijze ontstaat ruimte als we een object (bijvoorbeeld een zwart gat) beschouwen met een groot aantal interne vrijheidsgraden.

Zwarte gaten hebben niet alleen een temperatuur maar ook een entropie. Dit is een maat voor de maximale hoeveelheid informatie die bevat kan zijn binnen de horizon. Jacob Bekenstein en Hawking berekenden dat deze entropie evenredig is met de oppervlakte van de horizon ? ruwweg een bit informatie per vierkante Plancklengte. Dit resultaat leidde Gerard 't Hooft er toe te veronderstellen dat in het algemeen in een stukje ruimte nooit meer informatie kan worden opgeslagen dan de oppervlakte van de wand gemeten in Planckse eenheden. Dit holografische principe zegt dat, net als in een hologram, alle informatie in wezen op het oppervlakte van de horizon geprojecteerd kan worden.

Meer algemeen zegt het holografisch principe dat een quantumgravitatietheorie (zoals de snaartheorie) in d+1 dimensies hetzelfde aantal vrijheidsgraden kent als een lokale veldentheorie (zoals het standaardmodel) in d dimensies. Dit holografische principe is op spectaculaire wijze bevestigd door het werk van de jonge Argentijnse fysicus Juan Maldacena. Hij liet zien dat een bepaalde vierdimensionale (supersymmetrische) ijktheorie volledig equivalent is aan een snaartheorie in vijf dimensies in een universum met een negatieve kosmologische constante, een zogeheten anti-de Sitterruimte. Alle begrippen uit de twee theorieën kunnen naadloos in elkaar worden overgevoerd.

Deze correspondentie geeft diepe inzichten in de relaties tussen de twee hoofdrolspelers van dit verhaal ? ijktheorie en gravitatie. Beide geven een exacte beschrijving, maar deze beschrijving is alleen zinvol in een bepaalde fase van de theorie. Zo wordt gravitatie zinvol in de limiet van sterke ijkkoppeling, en is ijktheorie de geschiktste taal om een ruimtetijd met een hoge kromming te begrijpen. Met behulp van Maldacenas woordenboek blijken de QCD-snaren, gemaakt uit de fluxlijnen van het ijkveld, direct equivalent te zijn met de fundamentele snaren in de gravitatietheorie.

Een andere karakteristieke toepassing, het eerst gevonden door Edward Witten, ligt in het begrip van confinement. In de ijktheorie is er een thermische faseovergang waar de gluonen bij hoge temperatuur "bevrijd" worden. Vanuit het gezichtspunt van gravitatie doet deze faseovergang zich voor als een competitie tussen twee concurrerende meetkundes: een lege anti-de Sitterruimte en een zwart gat. Bij lage temperatuur overheerst de lege ruimte, bij hoge temperaturen vindt nucleatie van zwarte gaten plaats. De zwarte gaten kunnen gebruikt worden om de faseovergang kwantitatief te begrijpen. Omgekeerd geeft de ijktheorie nieuw inzicht in de fysica van deze zwarte gaten.

Wordt de natuur door snaren beschreven? Het is duidelijk veel te vroeg om hier een definitief oordeel over te geven. Ik hoop wel duidelijk gemaakt te hebben dat er een aantal zeer grote open vragen in de moderne fysica zijn die schreeuwen om een oplossing, een geweldige uitdaging voor ieder jonge natuurkundige. Verder hoop ik iets van mijn fascinatie te hebben overgedragen voor de intellectuele odyssee van de theoretische fysica, soms overgeleverd aan de wilde schommelingen van de ideeënwereld, ver weg van de veilige kust van de experimentele gegevens, maar misschien nu toch met misschien, héél in de verte, vasteland in zicht.

Snaartheorie en quantumgravitatie

Physica-lezing 2002