.''
``Wat is
?'' ``Dat is de verhouding tussen de omtrek en diameter van een cirkel.''
Waarop de schoenenverkoper uitroept,``Wat heeft een cirkel nu met schoenen
te maken?!''
(verschenen in Ned. Tijd. v. Nat. 62/11 (1996) 255-257)
Wiskunde en Natuurkunde
The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,
dat is de titel van een beroemd artikel van de hand van de Hongaarse fysicus
Eugene Wigner. Wigner, die als geen andere in deze eeuw de mathematische
structuren in de fysica heeft geëxploreerd, verwoordt in dit elegante
artikel zijn constante verwondering over het te pas en te onpas opduiken
van wiskunde in de natuurwetenschappen. Hij begint zijn beschouwing met
een kleine anekdote die dit verschijnsel goed illustreert. Enigszins geparafraseerd
gaat het verhaal als volgt: een schoenenverkoper ontmoet een wiskundige
en doet zijn beklag dat hij niet weet hoeveel schoenen van welke maat in
te kopen. ``O,'' zegt de wiskundige, ``dat is heel simpel, daar is een
eenvoudige formule voor,'' en hij toont hem de Gaussische normaalverdeling.
De schoenenverkoper staart een tijdje naar de formule, wijst dan en vraagt,
``Wat is dit symbool?'' ``Dat is de Griekse letter .''
``Wat is
?'' ``Dat is de verhouding tussen de omtrek en diameter van een cirkel.''
Waarop de schoenenverkoper uitroept,``Wat heeft een cirkel nu met schoenen
te maken?!''
We zijn allen vertrouwd met het verschijnsel dat Wigner zo mooi benoemd heeft -- wiskundige begrippen zijn inderdaad `onredelijk effectief' in de beschrijving van natuurlijke verschijnselen. Toch is het algemene beeld van de wiskunde, en de wiskundige in het bijzonder, onder natuurkundigen niet altijd even positief, zoals eveneens vele anekdotes getuigen. Bijvoorbeeld de natuurkundige in een ballon: natuurlijk is deze verdwaald, maar ziet onder zich een figuurtje en vraagt, ``Waar ben ik?'' De figuur peinst een lange tijd en antwoordt uiteindelijk ``In een ballon!'' Waarop de fysicus onmiddellijk weet dat deze een wiskundige heeft aangetroffen, want 1) er moest lang over nagedacht worden, 2) het antwoord is correct, en 3) volledig zinloos.
Anders dan deze nog steeds wijdverbreide folklore suggereert, is er de laatste jaren een geheel ander ontwikkeling te zien. Niet alleen worden wiskundige ideeën vruchtbaar toegepast in de fysica, fysische ideeën vinden ook toepassingen in de wiskunde, zelfs in de meer abstracte richtingen als de algebraïsche meetkunde. Vandaar mijn titel met de knipoog naar Wigner. Dit is natuurlijk geen nieuw verschijnsel. In tegendeel, de geschiedenis leert ons dat veel wiskundige begrippen in de fysica hun oorsprong vonden. Het bekendste voorbeeld is ongetwijfeld de analyse, die in de 17de eeuw, via het werk van Newton, Leibnitz, Huygens en anderen, uit de mechanica is voortgekomen. Maar ook een modern abstract begrip als cohomologie werd door de wiskundige Raoul Bott herontdekt in elektrische circuits, toen hij nog voor elektrotechnisch ingenieur studeerde!
Maar, we moeten toegeven, er zijn door de eeuwen heen goede en minder goede tijden geweest in de relatie tussen deze twee tot elkaar veroordeelde disciplines. Zo trad er in de jaren 50 een koude oorlog op, toen de wiskunde zich meer en meer introvert opstelde achter een ijzeren gordijn van abstracties, terwijl in de natuurkunde, onder een barrage van nieuwe deeltjes, de hoop leek te vervliegen op een elegante fundamentele theorie gebaseerd op eenvoudige wiskundige principes. Het befaamde Franse Bourbaki-collektief, genoemd naar een ongelukkige Griekse generaal van Napoleon III, herschreef de totale wiskunde in encyclopedische vorm met een ongekende rigueur. Het is niet eenvoudig in deze handboeken een op de natuur geïnspireerde intuïtie te herkennen. De Bourbaki-stijl heeft zeker grote successen opgeleverd, in het bijzonder in de getaltheorie. Zo kan het recente bewijs van de Laatste Stelling van Fermat door Andrew Wiles gezien worden als een culminatie van deze ontwikkeling.
Toch is er langzamerhand weer een `entente' opgetreden, ondermeer toen in de jaren 70 allerlei moderne meetkunde zoals vezelbundels en indexstellingen in de deeltjesfysica naar boven kwam. De Nederlandse theoretisch fysicus Gerard 't Hooft heeft daar een grote bijdrage aan geleverd. Met de recente ideeën van supersymmetrie, unificatie, quantumgravitatie en supersnaren is deze ontdooiing in een stroomversnelling geraakt. De laatste jaren kunnen we daarmee spreken van een renaissance van fysisch denken in de wiskunde.
Bewijs daarvoor kan gevonden worden in de Fields Medals. De Fields Medal is het wiskundige equivalent van de Nobelprijs. (Het ontbreken van een wiskundige Nobelprijs wordt meestal toegeschreven aan een buitenechtelijke relatie van mevrouw Nobel met de wiskundige Mittag-Leffler, maar dit is historisch onjuist; zo is Nobel bijvoorbeeld nooit getrouwd geweest.) Slecht eens in de vier jaar uitgereikt en, volgens een ongeschreven regel, slechts aan kandidaten onder de veertig, werd de Fields Medal in 1990 toegekend aan de fysicus Edward Witten en de fysisch-geïnspireerde mathematen Vaughan Jones en Vladimir Drinfeld. Omdat de deeltjesfysica, in de vorm van de quantumveldentheorie, in al hun werk een grote rol speelde, sprak men dat jaar ook wel van de `Quantum Fields Medals.'
Knopen en Elektronen
Graag wil ik deze nieuwe ontwikkeling aan de hand van twee voorbeelden toelichten. Mijn eerste voorbeeld is de knopentheorie. Een wiskundige knoop is een inbedding van een cirkel in de driedimensionale ruimte die zichzelf niet doorsnijdt. Anders dan de knoop die we in onze schoenveters leggen, kan deze knoop niet ontknoopt worden zonder de veter te breken. (De twee uiteinden van de veter zijn aan elkaar geplakt.) De probleemstelling is alle inequivalente knopen te classificeren. Ook al is dit probleem zeer eenvoudig te formuleren, het antwoord is uiterst gecompliceerd, zie bijvoorbeeld het volgende figuur
Wat heeft dit alles nu met fysica, in het bijzonder deeltjesfysica te maken? Misschien is het eerste verband wel gelegd in een telefoongesprek tussen de fysicus John Wheeler (o.a. bedenker, met Niels Bohr, van kernsplitsing en verantwoordelijk voor de term `zwart gat') en zijn toenmalige promovendus de legendarische Richard Feynman. Feynman verteld het verhaal in zijn Nobelprijslezing. Wheeler belt Feynman laat uit bed. ``Ik weet waarom alle elektronen dezelfde massa en lading hebben,'' roept hij enthousiast, ``Omdat er maar één elektron is!" Hij had het volgende beeld voor ogen. Er is in het universum één elektron dat op en neer in de tijd reist en daarmee een grote knoop in de ruimte-tijd weeft. Als je op een bepaald tijdstip kijkt, snijd je deze warboel door en zie je allerlei elektronen en hun antideeltjes (positronen) op en neer door de ruimte prikken, zoals geïllustreerd in fig. 2
Ook in de knopentheorie dus. We moeten dan wel uitgaan van een driedimensionale ruimte-tijd (twee ruimtedimensies en één tijddimensie). Daar kunnen we een topologische versie van quantumelektrodynamica (QED) beschouwen. QED is de theorie van het licht, iets preciezer van elektronen en fotonen, de lichtdeeltjes die de elektromagnetische interakties tussen de elektronen beschrijven. In de wiskundige versie van QED kunnen we elektronen laten rondbewegen langs de baan van een knoop. De knoop stelt dan een aaneenschakeling van processen voor waar elektron-positron paren worden gecreëerd en weer geannihileerd, terwijl ondertussen fotonen worden uitgewisseld, zie fig. 3
Het ligt voor de hand dit model uit te breiden naar een zogeheten niet-Abels model met meerdere `kleuren' elektronen. Dat wil zeggen, een topologische versie van quantumchromodynamica (QCD), de theorie van de sterke wisselwerking, met quarks die langs de knoop lopen en gluonen die de wisselwerkingen geven. (De technische term is een Chern-Simons theorie.) De mathematische struktuur wordt dan vastgelegd door de keuze van een Lie groep. Hiermee komen al snel een groot aantal wiskundige terreinen in zicht, zoals Kac-Moody algebra's, quantumgroepen en integreerbare systemen. Het is onder andere deze knopentheorie en haar entourage die Witten, Jones en Drinfeld aan hun Fields Medals heeft geholpen. De laatste steen in het bouwwerk is gelegd door de wiskundigen Vasiliev en Kontsevich, die hebben laten zien dat deze kijk inderdaad tot een volledige classificatie leidt.
De Vierde Dimensie
In mijn tweede (korte) voorbeeld gaan we naar Einsteins vierdimensionale ruimte-tijd, het `decor' van alle fysische verschijnselen. Waarom juist vier dimensies? Deze vraag hoort wellicht thuis in de theologie of filosofie. Ook kan er een beroep gedaan worden op een antropocentrisch beginsel: in andere dimensies zou het niet mogelijk zijn de keten van fysische verschijnselen op te bouwen die uiteindelijk tot leven en bewustzijn leidt. In de modellen van de deeltjesfysici, in het bijzonder in snaartheorie, is het niet uitgesloten dat uiteindelijk een fysisch selectieprincipe de keus voor vier dimensies verklaart. Zolang dit nog niet het geval is, kunnen we wel opmerken dat dimensie vier ook wiskundig een aparte positie inneemt. In dimensie vijf of hoger komen we in algemeen vaarwater, waar vele algemene stellingen zoals het Poincaré-vermoeden bewezen zijn. Dimensie drie of lager is bijzonder genoeg om `met de hand' gedaan te worden (Riemann, Thurston).
Lange tijd was daarmee de vierdimensionale topologie volstrekt terra incognita, totdat in 1982 de jonge Engelse wiskundige Simon Donaldson liet zien dat ook hier ijktheorieën gebruikt kunnen worden om het probleem te kraken. Donaldson was namelijk het ambitieuze projekt begonnen om de klassiek oplossingen van Yang-Mills-velden, de zogeheten instantonen, te gebruiken om uitspraken te doen over de topologie van de ruimte-tijd. Tegen alle verwachting slaagde hij daarin wonderwel en verdiende in 1986 op 27-jarige leeftijd een Fields Medal voor zijn resultaten.
Najaar 1994 is er echter een ware revolutie in dit vakgebied uitgebroken onder invloed van werk van de fysici Seiberg en Witten, die hebben laten zien dat ook een topologische versie van QED gebruikt kan worden. Omdat deze theorie geen zelfinteracties kent, is de wiskundige structuur veel eenvoudiger. Toch lijken de Seiberg-Witten-invarianten alles te kunnen wat Donaldson theorie kan, en meer. Aan de lopende band werden nieuwe resultaten bewezen, waaronder meer dan dertig jaar oude vermoedens. Er wordt zelfs opgemerkt dat wiskundigen naast de ideeën nu ook de sociologie van de fysici hebben overgenomen, zo messcherp was de competitie en zo genadeloos was het tempo waarin de wiskundige preprints verschenen. De zoektocht is nu naar de `neutrino-ruimten', die net als het gelijknamige deeltje, onzichtbaar zijn voor de fysische invarianten.
Theoretische Wiskunde of Mathematische Fysica?
Wat is nu de status van al deze ontwikkelingen in de wiskunde. Omarmen alle wiskundigen de deeltjesfysica? Er is, zoals te verwachten, een felle discussie losgebrand over de vraag of dit wel allemaal echte wiskunde is. Immers, voor een fysicus is de rigueur van een bewijs lang niet zo belangrijk als de vruchtbaarheid van de ideeën. In de wiskunde zijn de eisen die aan een bewijs worden gesteld echter absoluut. Toch zijn de fysisch-geïnspireerde uitspraken vaak zo verrassend en, om met Pauli te spreken, ``gek genoeg om waar te zijn'', dat langzamerhand een hele industrie ontstaan is die deze vermoedens omzet in rigoureuze bewijzen. Een voorstel van Jaffe en Quinn in het invloedrijke Bulletin of the American Mathematical Society was om deze tak van wetenschap maar `theoretische wiskunde' te noemen, in tegenstelling tot de `experimentele wiskunde' die via het `experiment' -- hier de expliciete, exacte berekening -- resultaten vaststelt. De theoreten houden zich dan, net zoals in de fysica, bezig met het voorspellen van patronen en het ontwikkelen van wetmatigheden. Deze discussie heeft op dit moment nog geen consensus bereikt. We kunnen wel concluderen dat er in ieder geval een levendige uitwisseling plaats vindt tussen wiskunde en fysica waarbij de wetenschap wel vaart!
literatuur