Einsteins droom en de wiskundige werkelijkheiduitgesproken ter gelegenheid van de 367ste dies natalis van de Universiteit van Amsterdam op 8 januari 1999
Mijnheer de Rector Magnificus,
Vandaag vieren wij niet alleen de 367ste verjaardag van het Atheneum Illustre, ingeluid in 1632 met lezingen van de hoogleraren Vos en Van Baerle. De grote wetenschappelijke gebeurtenis van dat jaar was de publicatie door Galileo Galilei van zijn vermaarde Dialogo, een tweegesprek over de botsende wereldbeelden van Ptolemaeus en Copernicus, van de antieke wereld en de moderne kosmografie, van de mens als draaipunt en als toevallige toeschouwer op de derde rang. Een document dat het jaar daarop, in het O.J. Simpson-proces van de zeventiende eeuw, de verdoemde uitspraak van de Vaticaanse inquisitie zou afroepen en daarmee de relatie tussen wetenschap en maatschappij blijvend zou beschadigen. Galilei werd door de theologische politie gedwongen zijn woorden terug te nemen. De Nieuwe Wereld onderkende zijn talent wel: vier jaar later zou Harvard worden opgericht en hem een tevergeefs aanbod doen. [noot toegevoegd: ook het Atheneum Illustre heeft Galilei een aanbieding gedaan!] De intensiteit waarmee onze zeventiende-eeuwse collega's worstelden met de plaats van de mens in het geheel der dingen -- ook Vossius volgde via correspondentie het proces -- lijkt niet langer van deze tijd. De hedendaagse grote maatschappelijke discussies richten zich op meer aardse zaken. Toch wil ik het vandaag hebben over de ultieme academische kwestie. Wat is de fundamentele beschrijving van de Natuur? Uit welke fijnstructuur is onze werkelijkheid geweven? In welke begrippen, in welke taal moet deze beschreven worden? Voor het mogelijke antwoord richten we ons op een andere eeuwenoude dialoog tussen twee wereldbeelden, gevangen in een dans van aantrekking en afstoting, die van de natuurkunde en van de wiskunde. Van het concrete en het abstracte. Van de ontdekking en de verbeelding. Van het enige en al het mogelijke. Van het reële en het imaginaire. Zeg, van Einstein en Bourbaki. De eerste, de bekendste wetenschapper aller tijden, icoon en moreel baken, bron van meer aforismen dan in een mensenleven kunnen worden uitgesproken, heeft geen introductie nodig, de tweede ongetwijfeld wel. Van Nicolas Bourbaki, misschien wel de invloedrijkste wiskundige van deze eeuw, is weinig bekend. Uit de schaarse bronnen wordt duidelijk dat hij werd geboren in 1886, zeven jaar na Einstein, in Moldavië, uit een in origine Kretenzische familie. Opgeleid aan de universiteit van Kharkov, verricht hij in stilte zijn beste werk aan de Koninklijke Academie van Poldavië,een minuscuul bergstaatje in de Kaukasus. Dan, opgejaagd door oorlog en revolutie, komt hij uiteindelijk, berooid en een wetenschappelijke inconnu, in Parijs terecht, waar hij eind jaren dertig geheel uit het niets een oeuvre begint te componeren waarin hij in meer dan zesduizend bladzijden de gehele moderne wiskunde herschept en herordent. Helaas is er geen familietraditie het laatste biografische detail meldt dat zijn dochter Betti trouwt met een leeuwentemmer. Cultuurhistorisch is Bourbaki verwant aan de surrealisten en dadaïsten. Zijn stijl doet denken aan de schilderijen van René Magritte en Max Ernst, en het literaire werk van de wiskundige en taalvirtuoos Raymond Queneau, hier in Nederland meesterlijk vertaald door zijn geestverwant Rudy Kousbroek. Bourbaki's werk is geschreven in een kraakheldere, ascetische, minimalistische stijl, verweven met een ragfijn zilverdraadje van absurdistische humor. Niet een ivoren toren, maar een ivoren paleis, een ivoren tempel, toegewijd aan de kunst van het weglaten, in een bevroren wereld, waar de ijselijke wind van de mathematische rigueur iedere definitie, stelling en lemma op zijn plaats heeft vastgevroren. Maar ook een plaats van een onaardse schoonheid en orde en eeuwigheidswaarde. Met onbereikbare pieken, die met absolute zekerheid niet beklommen kunnen worden. Waar dingen groter zijn dan oneindig en kleiner dan infinitesimaal. Waar bewijzen kunnen komen uit het ongerijmde. Waar je chirurgie kunt plegen op een knoop. Waar getallen een lichaam hebben en imaginair, transcendent of surreëel zijn. Een wereld beschenen door monsterlijke maneschijn, bevolkt door Adèle en Idèle, voorstelbare functoren, wonderlijke aantrekkers, magische vierkanten, sporadische groepen, kristallijnen cohomologie, babymonsters en perverse schoven. Wat is de relatie tussen dit bestiarium, dit wiskundig carnaval, deze wonderlijke wereld van Bourbaki en onze alledaagse werkelijkheid? Is er leven in het mathematische universum? Of, ik moet zeggen, in de oneindig veel parallelle werelden waaruit dit universum bestaat. In dit verband is het opmerkelijk dat het bestaan van Bourbaki zelf nooit honderd procent sluitend bewezen is. Ceci n'est pas Bourbaki. Het doet ons ook vragen wat de rol van de wiskunde is in het wetenschappelijke en maatschappelijke leven. Het viel mij op dat 1632 het geboortejaar is van drie grote Nederlanders: van Leeuwenhoek, Spinoza, Vermeer -- onderzoeker, filosoof, kunstenaar. Een culturele drietrapsraket. De verkavelde academische wereld rijst als een moderne toren van Babel uit het maatschappelijk veld. Iedere etage, iedere discipline kent, in de woorden van de bioloog Edward Wilson, haar anti-discipline, de onderburen, waarop zij gefundeerd is, waaraan zij ontstegen is, maar waarmee zij ook een problematische ouder-kindrelatie onderhoudt. Zo gaat de psychologie uit van het gegeven van de neurobiologie, maar heeft haar eigen concepten en methoden. Op eenzelfde wijze is de moleculaire biologie weer schatplichtig aan de chemie. Enzovoorts, enzovoorts. In deze orde der dingen vormt de fysica van de allerkleinste deeltjes een natuurlijke onderste bouwlaag, die op zijn beurt weer met zijn volle gewicht rust op het solide fundament van de wiskunde en de logica. Aan de top van deze reductionistische raffinaderij bevinden zich de geesteswetenschappen, met de filosofen op de uitkijk. Als vogels boven dit alles vliegen de vrije kunsten. De kunstenaar is een absoluut heerser en kan zonder enige beperking eigen werelden creëren. Toch gaat dit traditionele beeld mank. De wiskunde is niet veroordeeld tot het souterrain. De keten van kennis vormt in mijn ogen eerder een natuurlijke cirkel, waarin de extremen elkaar raken. Immers, net als de kunstenaar is de wiskundige vrij om naar believen imaginaire werelden te scheppen, en in verwondering te zien of en hoe deze wereld tot leven komt. Alles is mogelijk, maar niet alles is interessant. En soms moet de wiskundige, net als de kunstenaar, bij de bovenburen langs om een kopje inspiratie te lenen. Daarom is het een culturele verarming dat de complementaire visie van de wiskunde, en meer algemeen die van de natuurwetenschappen, gevoed door deze rijke ideeënwereld, zo'n geringe rol speelt in het maatschappelijke debat. Dat in Nederland exacte wetenschappers vaak slechts mogen fungeren als technische experts, als de monteurs in de machinekamer, heel belangrijk als de machine stokt maar niet essentieel om de koers te bepalen. Een effect dat ook de potentiële student afschrikt. De wiskunde is een taal, een medium, in essentie niet anders dan het Nederlands of Hongaars of Fortran. Het maakt alleen gebruik van een groter aantal leestekens en een beperkter vocabulaire. Maar het is, tot onze verbazing, de taal van de Natuur. `De onredelijke effectiviteit van de wiskunde in de natuurwetenschappen', zo heeft de fysicus Eugene Wigner dit verschijnsel gedoopt. Deze onredelijk effectiviteit is een wonder. Formules kunnen immers evengoed maar een benadering zijn voor een complex verschijnsel dat uiteindelijk op een fundamenteel andere manier begrepen moet worden, misschien via de intuïtie of de mystiek. Zo zijn de sociale en geesteswetenschappen veel minder overtuigd van het belang van de wiskunde, omdat de complexiteit van hun vraagstelling op dit moment het wiskundig kunnen te boven gaat. Maar hoe anders is de ervaring van een quantumfysicus, die de allerkleinste deeltjes bestudeert. Die kan niet langer van de alledaagse intuïtie uitgaan, maar moet vertrouwen op de vergelijkingen, die letterlijk tot leven zijn gekomen. Een elektron is geen minuscuul biljartballetje of wiebelend golfje. Het is de oplossing van de Dirac-vergelijking, niets meer en niets minder. Toch kent ook de fysica een gezond wantrouwen jegens de wiskunde en haar beoefenaars. Toen Einstein in 1905, zijn annus mirabilis, als 25-jarige Zwitserse patentambtenaar zijn speciale relativiteitstheorie de wereld instuurde, was het wiskundig centrum van die wereld het universiteitsstadje Göttingen. Daar had honderd jaar eerder het grootste mathematische wonderkind aller tijden, Carl Friedrich Gauss, een traditie van excellentie ingezet die nu tot een ware sterrenbezetting had geleid, onder wie David Hilbert, de onwaarschijnlijke combinatie van een Oost-Pruissische dandy. De wiskundige capo di capi. De geestelijk vader van Bourbaki. Een kleurrijk maar intens figuur. Het verhaal gaat, dat toen een van zijn studenten plotseling overleed, hij de familie verzocht een woord te mogen spreken bij de plechtigheid. Hij memoreerde het scriptiewerk, dat weliswaar niet het gezochte resultaat had opgeleverd, maar wel enkele goede ideeën bevatte, die eventueel tot een bewijs zouden kunnen leiden. Hier lichtten zijn ogen op en hij vervolgde, `Laat f(x) een complexe functie zijn...' In een vermaarde lezing bij de eeuwwisseling had Hilbert in 23 grote problemen de koers voor de komende eeuw uitgezet. Dit met vol vertrouwen, zijn bekendste uitspraak is `Wir müssen wissen, wir werden wissen'. Een negentiende-eeuws optimisme dat spoedig door fundamenteel werk in de quantummechanica en de logica gelogenstraft zou worden. Het oplossen van één van Hilberts problemen zou eeuwige roem en glorie gaan betekenen. Het minst bescheiden probleem in deze top-23 stond op nummer zes, de axiomatisering van de fysica. Geef ons de definitie van de wereld, vroeg Hilbert, dan kunnen wij de wiskundige consequenties daarvan doorrekenen. Helaas is in de fysica zo'n definitie eerder het eindpunt van alle inspanningen dan het vertrekpunt. Op het toppunt van zijn kunnen en invloed had Hilbert dus zijn aandacht gericht op de natuurkunde, samen met zijn jeugdvriend Hermann Minkowski. Het was dan ook geen toeval dat het baanbrekende werk van Einstein direct de aandacht ving van de Göttinger wiskundigen. Snel zag Minkowski dat de speciale relativiteitstheorie een elegante formulering kreeg als de gebruikelijke drie dimensies van de ruimte te samen met de tijd in een vierdimensionale ruimte-tijd werden verenigd. Een abstract construct, dat onze alledaagse verbeelding ver te boven gaat, maar wel alle raadselen van de relativiteitstheorie weet te vangen. Einstein zag in eerste instantie zelf weinig toegevoegde waarde in deze mathematische voetnoot. Later bleek het begrip ruimte-tijd echter cruciaal voor zijn ideeën rond de zwaartekracht, en zijn magnum opus, de algemene relativiteitstheorie, maakt volledig gebruik van de vier dimensies. Vóór Einstein waren ruimte en tijd slechts het decor waarin de natuurlijke verschijnselen hun schouwspel speelden. Nu was dit decor door hem tot leven gewekt en speelde het zelf een actieve rol. Materie kromt de ruimte en deze kromming manifesteert zich als de zwaartekracht, een fenomeen waar wij iedere dag mee leven. Maar er was en er bleef een groot principieel verschil tussen de acteurs en het interactieve decor. Kan het niet zo zijn dat de deeltjes zelf uit de ruimte-tijd geboetseerd kunnen worden? Kan alle fysica niet gevangen worden in één theorie van alles, gebaseerd op dezelfde elegante wiskundige principes die zo succesvol waren gebleken in de relativiteitstheorie? In de laatste twintig jaar van zijn leven heeft Einstein in Princeton vruchteloos geprobeerd deze ultieme vraag te beantwoorden, om materie en zwaartekracht te verenigen, om de steen der wijzen van de moderne fysica te vinden. Dit tot frustratie van zijn jongere collega's. Hoe kon het grootste brein van zijn tijd alle energie verkwisten aan het najagen van een droom? Terwijl Einstein dagdroomde waren er in die tijd namelijk veel dringender en intellectueel uitdagender problemen, boven alles de ontwikkeling van de quantummechanica. Een theorie die op alle manieren de klassieke intuïtie opzij schoof. Een nieuwe jonge garde van briljante fysici, velen begin twintig, sommigen nog in korte broek, had zonder scrupules gebroken met alle normen en waarden en een geheel nieuw raamwerk voor de fysica ontwikkeld. Met zijn onzekerheidsprincipes, complementariteit tussen golven en deeltjes, en onverbrekelijke band tussen de waarnemer en het waargenomene, tartte de quantumfysica alle vertrouwde begrippen iets waar new age-goeroes en bezinningscentra nu nog goed garen bij spinnen. Het hoogtepunt was de constructie door de legendarische Richard Feynman en anderen aan het eind van de jaren veertig van QED, quantumelektrodynamica, de monumentale theorie van elektronen en lichtdeeltjes, goed voor zo'n 99 procent van de fysica om ons heen. Een typisch product van de Nieuwe Wereld en haar Nieuwe Fysica, blakend van zelfvertrouwen na het succes van Los Alamos, met een sterk pragmatische, anti-formalistische, handen-uit-de-mouwen houding. Eerst rekenen, dan denken. Hoe anders dan het geleerde en nu definitief verzonken Göttingen van de Oude Wereld. In de jaren vijftig werd de zaak alleen nog maar erger. Onder een barrage van onbekende elementaire deeltjes, die gevonden werden in de nieuw geconstrueerde deeltjesversnellers, vervloog spoedig alle hoop op een fundamentele theorie gebaseerd op elegante wiskundige principes. In de zestiger jaren was er zelfs een ronduit defaitistische stroming, die de natuur als een grote zwarte doos zag je stopt er iets in en er komt iets uit, er gelden hooguit wat algemene principes, maar het binnenwerk van de doos blijft voor ons onzichtbaar. Er is eenvoudigweg geen microscopische theorie van de natuur. Het mathematische raamwerk van de quantumveldentheorie, nog zo succesvol voor qed, werd met gepaste eer en met dank voor de bewezen diensten buiten op straat gezet. Einsteins droom lag op de vuilnisbelt. Toch werd de vlam voor een fundamentele beschrijving brandend gehouden door een select groepje gelovigen, waaronder de Nederlander Martinus Veltman, die zijn geloof doorgaf aan zijn promovendus en mijn promotor Gerard 't Hooft. Hij was het die in 1971 de lont in het kruitvat stak en op spectaculaire wijze de veldentheorie uit haar lange slaap deed ontwaken. Gebaseerd op het fundamentele idee van een niet-Abelse ijksymmetrie, een soort meerkleuren versie van QED die lange tijd als niet-realistisch op de theoretische kastplank was blijven liggen, bleek het toch mogelijk een mathematisch precies model te formuleren voor drie van de vier natuurkrachten. Dit alles leidde tot een uiterst vruchtbare periode in het begin van de jaren zeventig waarin binnen korte tijd het zogeheten Standaard Model van de elementaire deeltjes werd gevormd. Een periode waar mijn generatie alleen maar jaloers naar kan omkijken. Niet alleen kon de zwarte doos open, maar als een sinterklaassurprise zat er maar één simpele formule in, die in een paar regels de basis van alle ons bekende deeltjesfysica samenvat. Een formule die door sommige religieuze sekteleiders als een magische toverspreuk wordt vereerd en terecht. Het is zonder meer een van de absolute succesverhalen in de geschiedenis van de wetenschap. De quarks en gluonen zijn niet alleen aan het woordenboek toegevoegd, ze zijn een wezelijk onderdeel van onze cultuur geworden. Het feit dat zoveel verschijnselen op zo'n compacte wijze en gebaseerd op zulke elegante principes beschreven kunnen worden heeft geleid tot een definitief ander gevoel in de onderbuik van de fysica. Toen de deeltjesfysici weer vaste wiskundige grond onder de voeten kregen, hebben ze die niet meer willen verlaten. De donkere dagen van de zwarte doos waren definitief voorbij. Het leidend licht van wiskundige elegantie zou van nu af aan de weg wijzen. Toch is dit verhaal nog niet af. Er is één notoire dwarsligger en dat is Einsteins zwaartekracht, die zich niet zonder slag of stoot met de principes van de quantummechanica en het Standaard Model laat verenigen. Het nog grotendeels onbegrepen fenomeen van de quantumzwaartekracht manifesteert zich op zeer kleine afstand of zeer hoge energie, zo'n zestienmaal het tienvoudige van wat nu in de grootste versnellers bereikt kan worden. Een elementair deeltje zou dan zo zwaar zijn als een bacterie. Dat zal niet indrukwekkend klinken voor een bioloog, maar in de Lilliputse wereld van de deeltjesfysica is het een astronomisch gewicht. Anders gezegd, als een stofdeeltje op zichzelf een compleet universum zou vormen, dan kijken we naar afstanden zo klein als een stofje in die microkosmos -- de ultieme speld in de hooiberg. In een absoluut lachwekkend understatement, zou al het geld van de wereld niet volstaan om een versneller te bouwen die deze hoge energieën kan bereiken. De versneller zou de omvang van een compleet sterrenstelsel krijgen. Nooit zal op aarde de quantumzwaartekracht direct in een laboratorium onderzocht kunnen worden. Waarom zijn we toch geïnteresseerd in zo'n buitenaards en exotisch verschijnsel. Naast eenvoudige nieuwsgierigheid en een drang tot compleetheid van ons wereldbeeld, raakt deze vraagstelling aan de uiteindelijke vraag van ons bestaan, in concreto de oerknal waarmee het allemaal begonnen is. In dat verre, verre verleden, in die eerste 10-43 seconde van het boek Genesis, heersten de wetten van de quantumzwaartekracht en was er geen verschil tussen materie of kracht, ruimte of tijd. Toch werd toen de basis gelegd voor ons universum. Wat gebeurde er precies? Wat was de aanleiding? Wat was er vóór? Was er enige keuze mogelijk? Een even exotische plaats is het binnenste van een zwart gat, waaruit niets, zelf het licht niet, lijkt te kunnen ontsnappen. In de afgelopen jaren heeft de astrofysica, zeker ook hier in Amsterdam, meer en meer aanwijzingen gevonden voor het bestaan van deze wonderlijke objecten in ons heelal, sommige ter grootte van sterren, maar ook monsterlijke slokops die gehele melkwegstelsels voor lunch verorberen, waarbij hun tafelgeluiden als hoog-energetisch vuurwerk aan onze hemel verschijnen. Eigenlijk is zo'n zwart gat een versie van het slechte broertje van de Big Bang, de Big Crunch, waar de tijd stopt en alles zijn einde vindt. Zwarte gaten lijken de enige plaatsen in het heelal waar informatie kan verdwijnen. Als u uw bibliotheek in een zwart gat gooit, blijft alleen de totale massa als informatie over -- alsof u de boeken naar De Slegte brengt.Voldoet zon raadselachtig object nog aan de wetten van de quantummechanica? Heeft een wereld gevuld met zwarte gaten nog een eenduidige toekomst? En dan is er nog het probleem van het Niets, van de absolute leegte, het gevreesde vacuüm. Anders dan u misschien denkt, is het vacuüm een zeer levendig geheel. Dankzij het ruimdenkende gedoogbeleid van de quantummechanica mag alles, als het maar snel genoeg gebeurt voordat het gedetecteerd kan worden -- iets dat ons Amsterdammers moet aanspreken. Spontaan ontspringen virtuele deeltjes uit het niets en voeren een ingewikkelde dans uit om als Assepoester op het bal net op tijd weer te verdwijnen. Deze eeuwigdurende kosmische dans draagt bij aan de energie van het heelal en bepaalt zo mede het tempo van uitdijing. Deze kosmologische constante is kortgeleden gemeten en is ontzettend klein, zo'n 120 decimalen kleiner dan wat te verwachten was, en daarmee een van de grootste raadselen van de natuur. Volgens de theorie moet ons heelal de grootte van een sinaasappel hebben. Ook al kan de quantumzwaartekracht niet direct gemeten worden, er zijn wel theoretische ideeën, waarvan de snaartheorie de meest complete, succesvolle en allesomvattende is. Snaartheorie gaat uit van het bedrieglijk simpele idee dat op uiterst kleine afstanden elementaire deeltjes eruit zien als minuscule touwtjes of elastiekjes. Alle verschillende soorten deeltjes om ons heen zouden dan ontstaan dan als de trillingen van een enkele snaar, zoals de harmonische boventonen van een vioolsnaar. In tegenstelling tot de puntdeeltjes kunnen snaren maar een beperkt aantal symmetriegroepen dragen, bijvoorbeeld de meest symmetrische der symmetrieën, door de wiskundigen zo sober en ingetogen E8 gedoopt. De wisselwerkingen worden gegeven door het splitsen en weer samensmelten dat zo soepel verloopt dat alle inconsistenties verdwijnen die de puntdeeltjes plagen. De snaren brengen spontaan de zwaartekracht voort en uiteindelijk vinden alle krachten en deeltjes hun oorsprong in de meetkunde van de ruimte-tijd in een ultieme realisatie van Einsteins droom. Hij had het zich niet mooier kunnen wensen. Om de theorie te begrijpen moet mathematische gesproken alles uit de kast gehaald worden, want de snaartheorie is zonder twijfel het meest complexe object ooit door de mensengeest geconstrueerd. De bekendste snaartheoreticus, Edward Witten, door Time en Life gekozen als één van de vijftig invloedrijkste Amerikanen van onze tijd, heeft gezegd dat de supersnaren een stukje eenentwintigste-eeuwse fysica zijn dat per ongeluk in de twintigste eeuw is gevallen. Over één jaar zal dat althans feitelijk waar zijn. Juist de afgelopen jaren heeft de snaartheorie grote successen geboekt. Zo begrijpen we nu veel beter hoe quantum-zwarte-gaten eruit kunnen zien en waarom ze niet echt zwart zijn, maar door hun quantummechanische onzekerheid zo nu en dan een deeltje laten ontsnappen -- een effect dat ontdekt is door die andere grote wetenschappelijke icoon, Stephen Hawking, en dat het informatieverlies lijkt te voorkomen. De snaren blijken verder niet alleen te zijn, ook minuscule zwarte gaten, membranen en andere vliegende tapijten bevolken deze wonderlijke wereld, die in de beste traditie van Bourbaki nu omgedoopt is tot M-theorie, waar M staat voor magie, mysterie, membraan, matrix of zelfs moeder, zoals in `moeder van alle theorieën'. De snaren hebben ook definitief onze kijk op de fijnstructuur van het weefsel van onze wereld veranderd. Op de allerkleinste afstanden zijn er geen punten meer, bestaan er geen afstanden meer, maar is alles opgelost in een mathematische oersoep. Net zoals temperatuur een collectief effect is van de botsingen van ontelbaar vele moleculen, een eigenschap die verdwijnt op het individuele niveau, zo is de wereld om ons heen slechts een illusie, de ruimte-tijd een schim, gecreëerd door ons falen om de fijne details van de microscopische wereld te zien. Hoe is het intussen de wiskundigen gevaren? Wat is de impact van al dit schoons op de wiskunde? Is er naast de diepe wiskundige structuren in de fysica ook ruimte voor fysische intuïtie in de wiskunde? Is Bourbaki onder de indruk? In eerste instantie niet erg. Toen in de vijftiger jaren de fysici met handen en voeten orde probeerden te scheppen in de chaos van binnenstromende deeltjes, stortten de wiskundigen zich juist vol overgave in de introverte abstracties van Bourbaki. Met de ruggen naar elkaar rees aldus een ijzeren gordijn tussen de twee disciplines. Een leidend figuur in de Bourbaki-school was de Franse wiskundige André Weil, vorig jaar op 92-jarige leeftijd in het midden van zijn activiteiten overleden, broer van de filosofe en joods-katholieke activiste Simone Weil. Ook hij had een stormachtig leven. Zo besloot hij in september 1939 naar een veiliger oord te vertrekken. Helaas koos hij Finland uit, waar hij onmiddellijk verrast werd door de Fins-Russische oorlog. Op een receptie in Helsinki vertelde een generaal langs zijn neus weg dat morgen de Franse spion Weil geëxecuteerd zou worden. Op het laatste moment werd hij gered, en als deserteur naar Frankrijk op transport gesteld en geïnterneerd. In de gevangenis vervolgde hij zijn werk. Weil was getaltheoreticus. De getaltheorie is de meest etherische van alle menselijke bezigheden. Ook al zijn de getallen altijd om ons heen, hun gesloten karakter maakt het moeilijk ze intiem te leren kennen. Wat is zo bijzonder aan het getal 1632? De uiterst fragiele en subtiele wetmatigheden zijn haast onmogelijk in de menselijke verbeelding te vangen. De meest simpele vraag, bijvoorbeeld `is ieder even getal de som van twee priemgetallen?', kan alle experts met de mond vol tanden laten staan. Weil en anderen hadden de duidelijke visie dat deze meest ontoegankelijke tak van de wiskunde meetkundig begrepen moet worden. Maar dan een meetkunde waar het niet langer mogelijk is een plaatje te tekenen of zelfs een mentale voorstelling te maken. Het is alsof de verbeelding als een stel hulpwieltjes fungeert, die na lange oefening afgenomen kunnen worden, waarbij de wiskundige als een evenwichtskunstenaar toch overeind weet blijven te staan. In een Bourbakiaanse verdraaiing is dit diepe programma van André Weil kortgeleden briljant bekroond door zijn Engelse dubbelganger Andrew Wiles met het bewijs, na 350 jaar, van de laatste stelling van Fermat, misschien wel de hoogste veroverde piek in het Bourbaki-massief. Het bewijs van Wiles -- in meer dan zeven jaar in het allergrootste geheim voorbereid, zo historisch beladen was dit probleem -- is het wiskundig equivalent van het beklimmen van Mount Everest zonder zuurstof. De gehele wereld hield dan ook zijn adem in toen zich plotseling een kloof in het ijs opende en Wiles na uiteindelijk in het openbaar getreden te zijn alsnog een fout ontdekte in zijn bewijs. Voor het ongedurige oog van zijn collega's moest hij onder de grootst denkbare druk helemaal terug naar af. Maar met bovenmenselijke inspanning wist hij alsnog de top te bereiken. Het heeft hem eeuwige roem en glorie gebracht. Ondanks deze successen is er met alle recente opwinding rond de supersnaren toch een entente opgetreden tussen de wis- en natuurkundigen. De laatste jaren kunnen we zelfs spreken van een renaissance van fysisch denken in de wiskunde, of met een knipoog naar Wigner, van de onredelijke effectiviteit van de natuurkunde in de moderne wiskunde. Bewijs daarvoor kan gevonden worden in de toekenning van de Fieldsmedaille, het wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Het ontbreken van een Nobelprijs voor de wiskunde wordt meestal toegeschreven aan een affaire tussen mevrouw Nobel en de Zweedse wiskundige Mittag-Leffler. Maar dit is historisch onjuist, zo is Nobel nooit getrouwd geweest. De Fieldsmedaille wordt slecht eens in de vier jaar uitgereikt en alleen aan kandidaten onder de veertig. Net als een Olympisch topsporter kan een wiskundige dus ongelukkig pieken, zoals Andrew Wiles overkwam. In 1990 werden de medailles onder andere toegekend aan de fysicus Edward Witten en twee door de fysica geïnspireerde mathematen. Omdat de deeltjes, in de vorm van de quantumveldentheorie, in al hun werk zo'n grote rol speelden, sprak men dat jaar ook wel van de 'quantum-Fieldsmedailles'. Ook afgelopen zomer werden in Berlijn twee gouden plakken verdiend voor onderzoek direct gerelateerd aan de snaartheorie. De wiskunde heeft dus w,l gevaren bij de hernieuwde kennismaking met de achterban. Historisch gezien is dit natuurlijk niets nieuws. De wiskunde van de antieken werd geïnspireerd door de boekhouding, de astrologie en het landmeten. Later moesten Newton, Leibnitz en Huygens eerst zelf het differentiëren en integreren bedenken voordat ze de wetten van de mechanica konden formuleren. Een recenter voorbeeld is de rol van de computer in de ontdekking van chaos en fractals. Maar wat kan de quantumfysica met haar tegen-intuïtieve denkbeelden de wiskunde leren? Ik zal met twee voorbeelden illustreren hoe de bizarre microscopische quantumwereld een nieuw perspectief kan bieden op klassieke problemen. We hebben het al gehad over de vierde dimensie, die Einstein door de Göttinger wiskundigen werd aangedragen. Waarom juist vier dimensies? Deze vraag hoort wellicht thuis in de theologie. Of er moet een beroep gedaan worden op een antropocentrische cirkelredenering: in iedere andere dimensie zou het niet mogelijk zijn de onwaarschijnlijk lange keten van verschijnselen op te bouwen die uiteindelijk tot leven en bewustzijn op aarde en dus tot het stellen van de vraag heeft geleid. Het is ook niet uitgesloten dat een berekening in de snaartheorie uiteindelijk het definitieve antwoord zal geven. Maar het is wel opvallend dat de quarks en gluonen, de hoofdrolspelers van het Standaard Model, alleen in vier dimensies kunnen overleven, omdat ze alleen daar op kleine afstand zich niets van elkaar aantrekken een verschijnsel dat asymptotische vrijheid wordt genoemd. De wiskundige is veel ruimer van geest en leeft net zo gemakkelijk in drie, vier of zesentwintig dimensies. Maar vier-dimensionale meetkunde bleek technisch het moeilijkst te zijn en daarom bleef het lange tijd terra incognita. Een doorbraak werd gemaakt in 1982 toen de jonge Engelse wiskundige Simon Donaldson liet zien dat de ijkdeeltjes gebruikt kunnen worden om het probleem te kraken. Hij gebruikte daartoe speciale oplossingen -- instantonen, mathematische vuurvliegjes die alleen op één plaats en één tijd leven. Tegen alle verwachting in slaagde hij wonderwel in zijn ambitieuze programma en verdiende op 27-jarige leeftijd een Fieldsmedaille. Maar dit verhaal heeft een staartje. Want de natuurkundigen hebben niet stil gezeten. Kortgeleden is het hen gelukt het deeltjesmodel echt te doorgronden en dit heeft voor een wiskundige aardverschuiving gezorgd. De theorie werd op één dag honderdmaal eenvoudiger. De literatuur die al een flinke kastplank in beslag nam, kon plotseling op een paar A4'tjes. Onder het motto ijktheorie is dood, lang leve ijktheorie' werden aan de lopende band nieuwe resultaten bewezen en oude problemen gekraakt. Er wordt zelfs opgemerkt dat wiskundigen naast de ideeën nu ook de intens nerveuze groepsdynamica van de fysici hebben overgenomen, zo messcherp was de competitie, zo genadeloos was het tempo waarin de preprints verschenen. In een paar maanden was de revolutie over, en toen het puin geruimd was had de vierde dimensie veel van haar geheimen prijsgegeven. Voor mijn tweede voorbeeld gaan we naar de knopen. In de vorige eeuw, in de tijd vóór het planetaire model van het atoom, had de grote fysicus Lord Kelvin het idee dat atomen uit geknoopte touwtjes bestonden en dat zo het Periodiek Systeem der elementen verklaard kon worden. Daarmee was er het probleem om een soort woordenboek van alle knopen te schrijven. Een wiskundige knoop is een inbedding van een cirkel in de ruimte die zichzelf niet doorsnijdt. Anders dan de knoop die we in onze schoenveters leggen, kan deze niet ontknoopt worden zonder de veter te breken. De twee uiteinden zijn als het ware aan elkaar geplakt. Het is niet eenvoudig het verschil tussen twee knopen op te merken. Tegenwoordig vindt de knopentheorie eerder toepassing in de moleculaire biologie, waar het gebruikt wordt om de knopen te ontrafelen die enzymen in DNA-strengen leggen. Maar wat heeft dit alles nu met elementaire deeltjes te maken? Misschien is het eerste verband wel gelegd in een telefoongesprek tussen de fysicus John Wheeler -- verantwoordelijk voor de theorie van kernsplitsing en bedenker van de term zwart gat en zijn toenmalige promovendus Richard Feynman. Feynman verteld het verhaal in zijn Nobelprijslezing. Wheeler belt hem laat uit bed. `Ik weet waarom alle elektronen dezelfde massa en lading hebben, roept hij enthousiast, omdat er maar één elektron bestaat!' Hij had het volgende beeld voor ogen. Er is in het universum ,,n elektron dat op en neer in de tijd reist en daarmee een grote knoop in de ruimte-tijd weeft. Als je op een bepaald tijdstip kijkt, snijd je deze warboel door en zie je allerlei elektronen en hun antideeltjes op en neer door de ruimte prikken, allemaal stukjes van dezelfde wereldlijn. In een wiskundige variatie op Feymans meesterwerk qed kunnen we zo elektronen laten rondbewegen langs de baan van een knoop. De knoop stelt dan een aaneenschakeling van processen voor waar elektronenparen uit het niets ontstaan en weer verdwijnen. Terwijl de deeltjes rondzoeven schieten ze als spelers in een Star Wars-film met lichtdeeltjes naar elkaar. Zo'n proces heeft een zekere mathematische waarschijnlijkheid die de knoop kan karakteriseren. Het is onder andere deze knopentheorie en haar entourage die de fysicus Witten aan zijn Fieldsmedaille heeft geholpen. Welke les kunnen we hieruit leren? De grote verdienste van de fysica, maar ook de biologie, de informatica, en ieder andere menselijke activiteit, is dat het een context biedt voor de wiskundige verbeelding. Het voorkomt dat men verdwaalt in de gangen van het mathematisch labyrint. Het geeft een intuïtie welke van de oneindig veel mogelijke werelden bewoond zouden kunnen zijn. De toepassingen van de wiskunde reiken intussen verder en verder. Tegenwoordig is de financiële wereld tot in het bot gemathematiseerd. Niet dat de wiskundigen daarmee noodzakelijk vaste grond onder de voeten gekregen hebben. Ik denk aan de woorden van James Simons, na een carrière als eminent wiskundige en universitair bestuurder, oprichter van één van de meest succesvolle hedge funds. Op de vraag hoe het is om nu in de real world te leven, antwoordde hij dat zijn werk in de zuivere wiskunde hem veel reëler voorkwam dan dat in de financiële wereld. Wiskunde is een taal, maar helaas is het voor ons mensen een verschrikkelijk moeilijke taal om vloeiend te leren spreken. We zijn per slot van rekening niet meer dan een intelligente apensoort, en ons intellect is niet in eerste instantie ontwikkeld om de laatste stelling van Fermat te bewijzen, eerder om de sociale processen binnen onze groep te begrijpen. Zeg, om de nieuwste apenroddels te kunnen vertellen, of, wat kwaadwillender, om onze mede-aap te bedriegen. Daarom bedriegen we ook zo graag onszelf -- levensgevaarlijk voor een wetenschapper. Ook al is het absoluut weten de mens vreemd, en stommelen wij blind aan de rand van de afgrond van het onbekende, wetenschap bedrijven is bij uitstek een sociale en dus menselijke bezigheid. En de universiteit is de vervolmaakte apenrots. Ieder fatsoenlijk vakgebied is per definitie te groot om in het hoofd van één persoon te passen, zelfs in het hoofd van de grootste alpha male. Alleen door communicatie met onze collega's komen we verder met onze ideeën. Er wordt vaak lacherig gereageerd als ik vertel dat ik het grootste gedeelte van mijn werkdag doorbreng met praten. Maar in ontspannen discussies kan de geest zijn vrijheid vinden en soms begint een diep inzicht als een flauwe grap. Een fysicus heeft eens gezegd dat wetenschap weliswaar een sociaal verschijnsel is, maar dat de psychologie van de wetenschapper er om vraagt dat uiteindelijk alle krediet aan één persoon wordt toegekend. Het zijn Newtons wetten geworden, ondanks zijn bekende woorden `als ik verder heb gezien is dat omdat ik op de schouders van een reus stond'. Trouwens, zijn naaste rivaal Hook was opvallend klein. Denk ook aan de moderne variant van de deeltjesfysicus Gell-Mann: `Als ik verder heb gezien is dat omdat ik omringd was door dwergen.' Daarom is het misschien zo treffend dat de grote Nicolas Bourbaki, zoals u misschien al vermoedde, slechts een fictief personage is, een virtuele wiskundige, die alleen bestaan heeft in de collectieve verbeelding van een groep jonge Franse wiskundigen waaronder André Weil -- ontsproten aan de typische studentenhumor van de École Normale Supérieure in Parijs. Onder deze nom de plume, ontleend aan een tragikomische generaal van Napoleon de Derde, wilden deze Jonge Wilden de oude garde een moderne les leren in de kracht van de abstractie. De lijvige en zo sobere boekdelen werden gezamenlijk geschreven tijdens levendige uitjes naar de provincie. De beweging is trouwens nog steeds actief en het lidmaatschap is één van de best bewaarde professionele geheimen. Wetenschap is ook lesgeven, het uitleggen aan een ander. Hoe vaak ben ik niet enthousiast de kamer van een collega binnen gerend om mijn nieuwste idee te vertellen, waarna het in de eerste uitgesproken zin als een zeepbel ontplofte, het zoveelste slachtoffer van zelfbedrog achterlatend. Juist met nieuwe communicatiemiddelen zoals het internet -- ontwikkeld in een deeltjesversneller en het succesvolste afvalprodukt van de kernfysica -- voel ik mij soms niet meer dan een kleine zenuwknoop in een gigantische wereldwijde computer. Het is misschien niet toevallig dat juist de hecht verweven gemeenschap van de snaartheoretici als eerste een systeem van elektronische preprints heeft ontwikkeld, dat zo effici?nt functioneert dat het nu door vele andere vakgebieden is overgenomen. Daarom is het ook zo belangrijk dat in deze tijd van verminderde studentenaantallen in de exacte wetenschappen de gemeenschap en de traditie, die in Nederland altijd zo buitengewoon sterk is geweest, intact worden gehouden door landelijke initiatieven met behoud van de belangrijke lokale specialiteiten. Nederland heeft een zeer goede naam hoog te houden in de wereld, maar de levenslijn in een klein land als het onze is zeer kwetsbaar. We staan aan het begin van het jaar 1999 en aan de grens van de eenentwintigste eeuw. Wat zal het werkelijke milleniumprobleem blijken te zijn? We denken aan de woorden van Niels Bohr, dat het moeilijk is een voorspelling te doen, in het bijzonder van de toekomst. De fysicus Wheeler vertelt het verhaal van Lord Wellington, de Iron Duke, de meesterstrateeg en overwinnaar van Napoleon. Eenmaal met pensioen nam hij graag gasten mee op reis in zijn koets naar een voor ieder onbekend stukje Engeland. Aangekomen op een heuveltop, moest men proberen zo goed mogelijk het landschap achter de volgende heuvelrug te voorspellen. Niet verrassend was Wellington zeer goed in dit spelletje. Welk landschap bevindt zich achter onze volgende heuveltop, zijn het de supersnaren? Het snarenspel is al eerder gebruikt om de wereld te doorgronden. In de vijfde eeuw voor Christus waren de Pythagoreeërs in de ban van de getallen en hun natuurlijke verhoudingen. De trillingen van een snaar, de natuurlijke intervallen van de boventonen, de harmonie der sferen, lagen voor hun als metafoor niet alleen ten grondslag aan alle fysische verschijnselen, maar ook aan het begrip van de mens, zijn gemoed en zijn relaties. Uiteindelijk verzandde deze eerste theorie van alles in de getallenmystiek. Het empirisme, het experiment was eenvoudigweg niet in het wereldbeeld betrokken, en zonder deze remmende werking kan de menselijke verbeelding op hol slaan. Zullen wij net zoals de Pythagoreeërs, verstrikt in de snaren, ruw ontwaken uit onze droom? Zal Einsteins droom alleen bestaan in de verbeelde wereld van de wiskunde? Een parallelle wereld van ontroerende schoonheid en symmetrie en orde, maar helaas niet de onze? Is Einsteins droom de werkelijkheid van Bourbaki? Ik heb gezegd. Literatuur
|
