Een nieuwe revolutie in stringtheorie

(gepubliceerd in Afleiding 1 (1996) 7-11)

The five year itch

Stringtheorie is een zeer ambitieuze poging om een fundamentele theorie van de natuur te formuleren die alle deeltjes en krachten beschrijft en verklaart, een zogenaamde Theory Of Everything. Binnen de fysica is stringtheorie controversieel, omdat er (nog) geen experimentele rechtvaardiging is (Theory Of Anything?). Is het typische theoretische hoogmoed of `een stukje 21ste-eeuwse fysica dat per ongeluk in de 20ste eeuw is gevallen' zoals Princeton string-goeroe Edward Witten het uitdrukt?

Net als zonnevlekken vertonen de activiteiten in stringtheorie een opvallende periodiciteit, en wel van vijf jaar. In 1984 vond de eerste explosie plaats. (Ook al gaat de geschiedenis terug tot 1968 toen stringtheorie als een beschrijving van de sterke wisselwerking werd geboren. Een bizarre geschiedenis die begon met een antwoord -- de Veneziano-formule -- waarna pas veel later de vraag werd geformuleerd -- `hoe verstrooien strings?'). In 1989 verschenen de matrixmodellen op het toneel en nu in 1994 startte een nieuwe actieve periode onder de naam stringdualiteit. Dit heeft tot een ware stortvloed van preprints geleid en artikels op de voorpagina van de New York Times en andere fatsoenlijke kranten.

Een korte geschiedenis van het voorafgaande

Sinds het begin van de jaren zeventig hebben we een zeer goed functionerend model van de elementaire deeltjes en hun interakties -- het zogenaamde Standaard Model. Toch hebben veel theoretische fysici het gevoel dat dit niet het laatste woord is. Het Standaard Model heeft wel erg veel vrije parameters (massa's en ladingen) voor een fundamenteel model en het is niet duidelijk waarom nu juist deze deeltjes en krachten voorkomen. Een veel inhoudelijker bezwaar is dat de zwaartekracht geen onderdeel van het Standaard Model vormt en niet volgens de gebruikelijke methode gequantiseerd kan worden. Tenslotte bevat het model divergenties. Deze kunnen weliswaar met renormalisatietheorie worden begrepen, maar velen zien toch liever een eindige theorie.

Daarom zijn er de afgelopen twintig jaar een groot aantal ideeën ontwikkeld die naar zo'n fundamentele theorie moeten leiden. Dit historische pad van verdere abstracties en generalisaties voert mijns inziens bijna onvermijdelijk tot stringtheorie. Het is natuurlijk wel de vraag of het pad uberhaupt de goede richting uitgaat.

Wat zijn deze nieuwe ideeën? Ruwweg in historische volgorde zijn dat de volgende:

• De elektromagnetische, zwakke en sterke krachten moeten verenigd worden in een kracht, gebaseerd op een simpele Lie-groep die de ijkgroep U(1)xSU(2)xSU(3) van het Standaard Model bevat -- een zogeheten Grand Unified Theory. Een simpel, maar inadequaat voorbeeld is de groep SU(5).
• Het Kaluza-Klein- mechanisme: de ruimtetijd is niet 4 maar 4+n dimensionaal, waar de n extra dimensies zeer klein en `opgerold' zijn . De ruimtetijd is dus van de vorm MxK met M de vierdimensionale Minkowski ruimte-tijd en K een zeer kleine n-dimensionale ruimte. De keuze van K bepaalt mede welke deeltjes we in vier dimensies te zien krijgen.
• Er zijn supersymmetrieën die bosonen en fermionen verwisselen. Daarmee verdwijnt het principiële verschil tussen materie (fermionen) en krachten (fotonen, ijkbosonen, gravitonen). Heel naïef geven fermionen een negatieve bijdrage aan de divergenties zodat supersymmetrische modellen zich in het algemeen veel beter gedragen. Dit houdt wel in dat voor ieder fermion er ook een boson te zien moet zijn. Dit is helaas niet het beeld naar voren komt als we het huidige Particle Data Book bekijken. Wel kunnen de squarks, gluinos, sneutrinos net te zwaar zijn om in de huidige versnellers geproduceerd te worden. Er zijn daarom hooggespannen verwachtingen voor de volgende generatie versnellers. (Enkele experimentele resultaten wijzen al indirect in die richting.)
• Ook gravitatie moet onder het mes en gesupersymmetriseerd worden. Deze supergravitatie werd lang gezien als een goede kandidaat voor een Theorie Van Alles. Helaas bleek dat supergravitatie op zichzelf nog niet goed genoeg is om een consistentie quantumtheorie te krijgen.
• Er zijn geen anomalieën: de klassieke invariantie onder ijksymmetrieën en diffeomorfismen moet ook quantummechanisch gelden. Dit is een zeer niet-triviale eis als er chirale fermionen aanwezig zijn (gelukkig wel gerealiseerd in het Standaard Model). Het wegvallen van alle anomalieën is een van de belangrijkste hulpmiddelen in de fenomenologische `modelbouw'. Gecombineerd met supersymmetrie en Kaluza-Klein geeft dit maar een beperkt aantal mogelijkheden voor de knutselende theoreet.
• Quantumveldentheorie is meer dan alleen Feynman-diagrammen: ook nietperturbatieve objecten, die per definitie niet in storingstheorie te zien zijn, zoals monopolen, instantonen en (in gravitatie) zwarte gaten, kunnen een belangrijke fysische rol spelen.
• Tenslotte is onder invloed van de grote technische vooruitgang in allerlei toy models, zoals tweedimensionale conforme veldentheorieën, het besef gegroeid dat het niet altijd mogelijk is een fysische theorie te beschrijven met een simpele Lagrangiaan, zoals we dat in de klassieke mechanica gewend zijn. Soms moet een meer abstracte, algebraïsche kijk ingenomen worden. Er is dus meer onder de zon dan de tekstboeken suggereren, en in de theoretische gereedschapskist liggen nu allerlei geavanceerde wiskundige begrippen en constructies, zoals topologische veldentheorie.

Superstrings

Kort en bondig: in stringtheorie veronderstellen we dat deeltjes eendimensionale objecten zijn. (In goed Nederlands spreken we van snaren, maar strings klinkt veel spannender.) We onderscheiden de open string (met twee uiteinden) en de gesloten string (een elastiekje). Net zoals de baan van een deeltje een wereldlijn geeft in de ruimtetijd, zo geeft een string een wereldoppervlak, zie fig.1. Een van de aantrekkelijkste aspecten van stringtheorie is dat er maar een string is: de verschillende type deeltjes corresponderen met verschillende trillingen van een en dezelfde string. Er is een oneindige toren van deze trillingen, waarvan de massa's veelvouden zijn van de Planckmassa 10¹⁹ GeV ~ 10^-5 g ~ een bacterie, extreem zwaar voor een elementair deeltje). Fenomenologisch zijn daarmee alleen de massaloze deeltjes interessant en daar vinden we onze oude bekenden: het graviton, ijkbosonen, (chirale) fermionen en Higgs-scalars. De oneindig veel andere massieve vrijheidsgraden dienen eigenlijk alleen om de stringamplitudes eindig te maken. Door deze boventrillingen gedraagt een string zich veel fatsoenlijker bij hoge energie dan een puntdeeltje. Stringtheorie heeft een aantal opvallende eigenschappen. Zo kan de superstring verrassend genoeg uitsluitend en alleen in tien dimensies geformuleerd worden. Zoals al opgemerkt, de lage energie limiet is tiendimensionale supergravitatie -- een favoriet van de modelbouwers. Verder hebben strings de opmerkelijke eigenschap dat, als het spectrum eenmaal vastligt, de interacties vanzelf volgen. De interactie is namelijk geheel meetkundig: een string splitst gewoon in tweeën

Er zijn dus geen Feynmanregels! Omdat er ook geen specifiek singulier interactiepunt is aan te wijzen waarop de string splitst, is het hoge-energie gedrag mild. In stringtheorie is er ook maar een Feynmandiagram met n loops, namelijk een oppervlak met n gaten.

(Dit is trouwens ook wiskundig heel interessant, omdat de bestudering van deze Riemannoppervlakken een zeer niettriviale zaak is. Stringtheorie c.q. Witten heeft daar een van de belangrijkste openstaande problemen opgelost.) De zesdimensionale ruimte waarmee we compactificeren van tien naar vier dimensies bepaalt het spectrum van deeltjes dat we zouden moeten waarnemen. Er is niet al te veel keuze in deze ruimte, die wiskundig wordt gekenmerkt als een Calabi-Yau-ruimte. Er zijn daar nu zo'n 10000 families van bekend. Daarmee kan er een woordenboek gemaakt worden waarin meetkundige eigenschappen van de Calabi-Yau zich vertalen in eigenschappen van de deeltjes. Bijvoorbeeld het aantal generaties (drie in het Standaard Model) wordt bepaald door het Euler getal, Yukawa-koppelingen door intersectiegetallen etc. Daarmee wordt Einsteins droom gerealiseerd dat alle fysische grootheden (niet alleen gravitatie) een meetkundige oorsprong hebben.

String dualiteit

Wat is er nu het afgelopen jaar gebeurd dat er sprake is van een revolutie? Allereerst heb ik een belangrijk feit nog niet genoemd, dat vaak verzwegen wordt omdat het iets van de glans van stringtheorie afhaalt. Er zijn namelijk een aantal verschillende typen strings die allemaal in tien dimensies leven: de open superstring met ijkgroep SO(32), twee typen (IIA en IIB) gesloten superstrings en tenslotte de heterotische string met ijkgroep SO(32) of E₈xE₈. Alle vijf mogelijkheden zijn in principe even goed, hetgeen een embarrassment of riches inhoudt. Een van de belangrijke nieuwe inzichten van de huidige filosofie is dat alle vijf modellen dezelfde theorie representeren en wel in andere fysische regimes. Zo correspondeert de expansie voor zwakke koppeling van de ene stringtheorie met een sterkekoppelingsexpansie van de andere. Daarmee vallen alle typen strings samen. `That's nice, because we only need one,' zoals de stringpionier John Schwarz het bondig formuleert. Deze equivalenties wordt collectief stringdualiteit genoemd.

Er zijn vele bekende voorbeelden van dualiteiten in de fysica, bijvoorbeeld de Kramers-Warnier-dualiteit van het Ising model. Hier moeten we eerder denken aan de symmetrie die in Maxwelltheorie het elektrische en magnetische veld verwisselt. We weten allemaal dat deze symmetrie in de natuur niet gerealiseerd is, omdat er geen magnetische monopolen zijn. Dirac besefte als eerste dat, indien er monopolen zijn, de magnetische lading g gequantiseerd is in eenheden van 1/e, met e de elektrische lading (en vice versa). Elektrisch-magnetische dualiteit verwisselt dus zwakke koppeling (e² klein) met sterke koppeling (e² groot).

Ook al is dualiteit in Maxwelltheorie niet aanwezig, in sommige niet-Abelse ijktheorieën kan deze dualiteit wel exact gerealiseerd worden. Daar kunnen wel magnetische monopolen optreden, zoals eerst werd aangetoond door 't Hooft en Polyakov, die dan verwisseld kunnen worden met de ijkbosonen. Dit is pas een exacte symmetrie voor N=4 supersymmetrie. Vorig jaar is daar overtuigend nieuw bewijs voor geleverd.

Ook werd duidelijk dat dit soort dualiteiten veel algemener gelden. In de zomer van 1994 zijn Seiberg en Witten in Princeton er namelijk in geslaagd deze dualiteit toe te passen in de context van N=2 supersymmetrie. Zo slaagde ze erin het exacte spectrum van monopolen te bepalen. Ze ontdekten dat bij sterke koppeling deze monopolen massaloos worden en zich als elektronen in een duale theorie gingen gedragen. Het werd daarna snel duidelijk, dat hun werk gegeneraliseerd kon worden naar de veel algemene context van stringtheorie, waar de rol van de massaloze monopolen wordt overgenomen door massaloze zwarte gaten!

Het was al lange tijd bekend dat stringtheorie allerlei magische symmetrieën heeft die de intuïtie te boven gaan. Zo is er bijvoorbeeld een symmetrie die een string in een doos met lengte L verwisseld met een doos van lengte 1/L (in Planck eenheden). Als je het heelal dus kleiner en kleiner zou maken, is er voor de string slecht een minimum waarde (L=1) waarna het heelal weer lijkt uit te dijen.

Strings, branes,...

Wat zijn nu kort samengevat de nieuwste ingrediënten in stringtheorie?

• Er is waarschijnlijk een unieke stringtheorie in 10 dimensies. Afhankelijk van hoe je er tegen aan wilt kijken is dit een chiraal model met niet-Abelse ijkgroepen, een abels model, een open, gesloten of heterotische string -- allemaal aspecten van een universeel object. Er is zelfs ook een relatie met elfdimensionale supergravitatie en velen vermoeden dat in elf dimensies de uiteindelijke definitieve formulering zal plaatsvinden.
• Stringtheorie bevat allerlei nietperturbatieve toestanden zoals zwarte gaten. Deze kunnen naadloos overgaan in perturbatieve stringtoestanden (elementaire deeltjes). Dit is een concrete realisatie van een wijdverbreid idee dat microscopische zwarte gaten niet wezenlijk verschillen van elementaire deeltjes.
• Stringtheorie is meer dan een theorie van strings: het is een Theorie Van Alles En Nog Wat. Ook al is de perturbatieve definitie in termen van strings en oppervlakken, nietperturbatief moeten ook hogerdimensionale objecten worden toegevoegd. De technische term voor een p-dimensionaal object is een p-brane. (Van membrane voor p=2.) Strings kunnen met hun eindpunten op deze membranen gaan liggen (met Dirichlet- randvoorwaarden, vandaar de het nieuwste buzz-word D-branes). Dit geeft ook eindelijk antwoord op een vraag die bijna iedereen stelt die voor het eerst over strings hoort: `Waarom ophouden bij eendimensionale objecten, en niet ook hogere dimensies proberen?' Het antwoord is dus: stringtheorie bevat ook al deze hogerdimensionale objecten! Wel lijken alleen strings een consistente storingstheorie te geven.
• De diverse Calibi-Yau's waar we zo moeilijk uit konden kiezen kunnen allemaal in elkaar overgaan. Zo'n overgang is een zeer singuliere aangelegenheid in storingstheorie, maar met de nieuwe ingrediënten, in het bijzonder de elementaire zwarte gaten, wordt dit op magische wijze een regulier proces. Alle stringvacua vormen daarmee een groot web. Er is goede kans dat een unieke compactificatie bepaald kan worden en met veel geluk lijkt dit ook op wat wij buiten zien.

Dit alles heeft ook tot een revolutie in de wiskunde geleid. Er wordt zelfs opgemerkt dat wiskundigen naast de ideeën nu ook de sociologie van de fysici gaan overnemen, zo messcherp was de competitie en zo genadeloos was het tempo waarin de wiskundige preprints verschenen. Het onderwerp betreft vierdimensionale topologie. Het is een onderbelicht feit dat dimensie vier ook in wiskundig opzicht misschien de meest interessante dimensie is. In dimensie vijf of hoger komen we in algemeen vaarwater, waar allerlei universele stellingen gelden (zoals het Poincaré- vermoeden). In dimensie drie of lager is alles bijzonder genoeg om min of meer `met de hand te doen'.

Lange tijd was niet duidelijk hoe het probleem van vierdimensionale differentiaaltopologie gekraakt kon worden. Begin jaren tachtig liet de jonge Engelse wiskundige Simon Donaldson zien dat niet-Abelse ijktheorieën daarvoor gebruikt kunnen worden. Daarmee verdiende hij in 1986 op 27-jarige leeftijd een Fields Medal, het wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Donaldson toonde aan dat zelfs de vlakke ruimte R⁴ exotische eigenschappen heeft. Het is naar mijn mening een filosofisch zeer aantrekkelijk gegeven dat de niet-trivialiteit van vierdimensionale fysica (met asymptotisch vrije ijktheorieën) en van vierdimensionale wiskunde zo mooi hand in hand gaan.

Dankzij de verrassende dualiteit van Seiberg en Witten kan nu echter ook een Abelse theorie gebruikt worden (een wiskundige versie van QED, quantumelektrodynamica). In korte tijd zijn daarmee de bewijzen van Donaldson aanzienlijk vereenvoudigd. De theorie beslaat nu, ruwweg geschat, in plaats van tienduizenden pagina's eerder een honderdtal. Verder worden aan de lopende band nieuwe resultaten bewezen, waaronder meer dan dertig jaar oude vermoedens zoals het Thom- vermoeden. Er is ook een geheel andere kijk ontstaan op vierdimensionale meetkunde, waarin bijvoorbeeld symplektische ruimten (ook bekend als faseruimten in de fysica) een centrale rol lijken te spelen. De zoektocht is nu naar de `neutrino-ruimten', die net als het deeltje onzichtbaar zijn voor de fysische methodes!

Epiloog

Het was lange tijd duidelijk dat het laatste woord in stringtheorie nog niet gezegd was, en dat is het nu waarschijnlijk ook nog niet. Toch kan moed geput worden uit deze eerste niet-perturbatieve resultaten. Iedereen in het vakgebied is in ieder geval enthousiast en de verwachtingen zijn hoog, misschien te hoog, gespannen. Stringtheorie is al meer dan 25 jaar oud en toch nog springlevend -- geen geringe prestatie.

Literatuur

• G. Taubes, A Theory of Everything Takes Shape, Science 269 (1995).
• P. Townsend, Unity from Duality, Physics World, Sept 1995.
• M.B. Green, J.H. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory (Cambridge University Press, 1987).