![[]](http://www.wins.uva.nl/pict/uva.gif)
Website van Algebra 3; Representatietheorie
(najaar 2011, studielast: 6ECTS)
Vakcode: WI307046
Docent:
Jasper Stokman
Email: j.v.stokman at uva.nl
Tel.: 020-5255202
Kamer: C4.162 (Science Park 904).
Werkcollege docent: Fabien Cléry
Email: f.l.d.clery at uva.nl
Tel.: 020-5256092
Kamer: C4.144 (Science Park 904).
Inhoud en cursusmateriaal:
Representatietheorie is het vakgebied wat zich richt op de
bestudering van symmetriestructuren. In
dit vak beperken we
ons tot de bestudering van symmetrieen die gerealiseerd worden door
werkingen van eindige groepen op vectorruimten.
Voor de abstracte theorie gebruiken we het eerste
hoofdstuk uit het klassieke boek
J.-P. Serre, "Linear Representations of Finite Groups", Graduate Texts
in Mathematics 42, Springer-Verlag.
Heel veel links naar andere goede bronnen zijn te vinden op
de volgende
website van Khovanov.
Daarnaast zullen we veel aandacht besteden aan concrete voorbeelden. Met name
de symmetrische groep zal uitgebreid aan bod komen.
Hiervoor zal op deze website ter zijner tijd extra studiemateriaal
beschikbaar gesteld worden. Het hoorcollege zal in het nederlands gegeven
worden. Het werkcollege zal daarentegen in het engels gegeven worden.
Roostering:
Hoorcollege: Maandagen, 11:00-13:00,
weken 36 t/m 42 en 44 t/m 49, Science Park
G5.29.
Werkcollege: Donderdagen, 11:00-13:00,
weken 36 t/m 42 en 44 t/m 49, Science Park
G5.29.
Tussentoets: Woensdag 26 oktober 2011, 13:00-16:00,
Science Park F1.02.
Tentamen: Donderdag 22 december 2011, 13:00-16:00,
Science Park C1.112.
Hertentamen: maak zelfstandig de opgaven van het
tentamen
en lever de uitwerkingen in bij de docent: Jasper Stokman (kamer.nr.
C4.162). Het tweede onderdeel van het hertentamen zal een korte mondeling
zijn over de stof, waarvoor je een afspraak kan maken bij inlevering van
de uitwerkingen. Het cijfer voor het hertentamen wordt dan bepaald aan
de hand van dezelfde rekenregels als voor het tentamen.
Structuur van de website:
De tussentoets zal gaan over de stof in hoofdstuk 1 en 2 (t/m paragraaf 2.6)
van deel I uit Serre's boek, en de stof in de twee aanvullingen
op Serre's boek (van de tweede aanvulling, de stof tot en met
gevolg 5.5). Naast sommen over de stof kunnen er ook
korte bewijzen gevraagd worden.
De tussentoets is nagekeken, het cijfer staat in de grade
center van blackboard. Hier is de
tussentoets
met uitwerking.
Het tentamen gaat over de behandelde stof tot en met
21 november. Net als bij de tussentoets zullen er sommen zijn waarbij
je de theorie moet toepassen, maar er kunnen ook korte en inzichtelijke
bewijzen gevraagd worden. In geval je master student
bent, dan moet je in de maand januari ook een kort mondeling examen
doen over de stof van de laatste 2 weken van het college (representatie
theorie van de symmetrische groep). Maak hiervoor bijtijds een afspraak.
Het eindcijfer van het tentamen is dan het gewogen gemiddelde van het cijfer
voor het tentamen en het cijfer voor de mondeling (80% voor het
tentamen en 20% voor het mondeling).
Hertentamen: er is slechts 1 mogelijkheid om
hertentamen te doen. Zie hierboven voor meer informatie over het
hertentamen.
Als je een honours uitbreiding (voor 2 EC) wilt doen,
stuur dan even een mailtje om je aan te melden. Voor de honoursuitbreiding
wordt er van je verwacht dat je zelfstanding hoofdstuk 8 en de opgaven
van hoofdstuk 8 uit Serre's boek bestudeert (dit gaat over toepassingen
van inductie), en hier een kort mondeling examen over komt doen
(in januari 2012).
Maak bijtijds een afspraak voor het mondelinge examen. Op korte termijn
wordt hier nog wat extra informatie over de honours uitbreiding gegeven.
Na afloop van het hoorcollege wordt hier de behandelde stof
vermeld.
5 september: Voorbeelden van groepen. onder andere
automorfisme-groepen en
semidirect produkt groepen en de dihedrale groep als semidirect produkt
(referentie voor opfrissing groepentheorie: Syllabus
Algebra 1
van Gerard van der Geer). Zie ook secties 5.1 en 5.3 in Serre's boek.
Daarnaast is het concept lineaire representatie besproken, en zijn
verschillende voorbeelden van lineaire representaties gegeven
(triviale representatie, representaties van
cyclische groep van orde n, permutatie-representatie, reguliere representatie,
2-dimensionale representaties van de dihedrale groep). Dit correspondeert
met secties 1.1 en 1.2 uit Serre's boek.
12 september: deelrepresentaties, irreducibele
representaties, ontbinding van een representatie als
directe som van irreducibele
deelrepresentaties en Schur's lemma. Dit correspondeert met
secties 1.3, 1.4 en met Propositie 4 sectie 2.2 in Serre's boek.
19 september: tensor produkten van representaties.
Naast sectie 1.5 uit Serre's boek maken we ook gebruik van de
eerste aanvulling op Serre's boek.
26 september: Karakters,
matrix coefficienten van irreducibele representaties.
Dit correspondeert met sectie 2.2 in Serre's boek.
3 oktober: Orthogonaliteitsrelaties van
irreducibele karakters en van
matrix coefficienten van irreducibele representaties, en de
ontbinding van de reguliere representatie.
Dit correspondeert met secties 2.3, 2.4 en 2.5 uit Serre's boek.
10 oktober: Karaktertabellen en de
primitieve idempotenten van de
algebra van klasse functies. Dit correspondeert met
het laatste deel van sectie 2.5 uit Serre's boek en met
paragraaf 3 uit de
tweede aanvulling op Serre's boek.
17 oktober: De kanonieke ontbinding van een
representatie. We volgen hierbij paragrafen 4 en 5 (tot en met
gevolg 5.5) uit de
tweede aanvulling op Serre's boek (waarbij er,
vegeleken met de versie van afgelopen week, een stelling en opgave
zijn toegevoegd aan het eind van paragraaf 5). De behandelde
stof correspondeert grofweg met secties 2.6, 6.1 en 6.3 uit Serre's boek.
24 oktober: Herfstvakantie, geen college.
Tussentoets op woensdag 26 oktober.
31 oktober: uit de
tweede aanvulling (paragraaf 5, vanaf Stelling 5.7)
op Serre's boek, de Fourier transformatie van
een groep. Dit komt overeen met
paragrafen 6.2 en 6.3 uit Serre's boek. Verder behandeld
uit Serre's boek: representaties en
abelse ondergroepen (paragraaf 3.1) en representaties van
produktgroepen (paragraaf 3.2).
7 november: Ontbinding van representaties
in irreducibelen (paragraaf 2.7 uit Serre's boek) en
geinduceerde representaties, gebruikmakend van de
derde aanvulling (t/m sectie 2) (nieuwe versie:
14 november) op Serre's boek. Dit komt overeen met
paragraaf 3.3 uit Serre's boek.
14 november: Geinduceerde representaties en
Frobenius reciprociteit, gebruikmakend van de
derde aanvulling (nieuwe versie:
14 november) op Serre's boek. Dit komt overeen met
paragrafen 3.3, 7.1 en 7.2 uit Serre's boek.
21 november: Mackey's irreducibiliteitscriterium,
paragrafen 7.3 en 7.4 uit Serre's boek.
28 november: Young ondergroepen en geinduceerde
representaties van de symmetrische groep, gebruikmakend van de
vierde aanvulling (nieuwe versie: 1 december)
op Serre's boek.
5 december: Specht modulen, gebruikmakend van de
vijfde aanvulling op Serre's boek.
Het werkcollege zal in het engels gegeven worden.
Hier staan de opgaven vermeld die tijdens het werkcollege aan bod
komen.
8 september: Opgaven 1,3-6 van de
eerste
opgavenset.
15 september: Opgave 6 eerste
opgavenset en opgaven 1,3-5 van de
tweede
opgavenset.
22 september: de opgaven uit de
aanvulling op de stof van deze week behalve opgave 0.5.
29 september: Opgave 0.12 uit de
aanvulling op het boek van vorige week.
Opgaven 2.1,2.3,2.4 uit Serre's boek.
6 oktober: Opgave 2.5 en 2.6 uit Serre's boek
en opgaven 1,2,4,5 uit de
extra opgaven set.
13 oktober: Opgaven 1 en 4 uit de
extra opgaven set van afgelopen week en Opgaven
3.4 en 3.8 uit de
tweede aanvulling op Serre's boek.
20 oktober: Opgave 2.8 uit Serre's boek en
opgave 5.6 uit de
tweede aanvulling op Serre's boek + vragen over de sommen
tot nu toe.
27 oktober: Herfstvakantie, geen werkcollege.
3 november: Exercise 5.11 uit de
tweede aanvulling op Serre's boek, en Exercises 2.9, 3.2 en 3.3
uit Serre's boek.
10 november: Exercise 2.7 en 2.8 uit de
derde aanvulling (nieuwe versie: 14 november)
op Serre's boek, en Exercises 3.4, 3.5 en 3.6
uit Serre's boek.
17 november: Exercises 3.2 en 3.8
uit de
derde aanvulling (nieuwe versie: 14 november)
op Serre's boek en Exercises 3.5, 3.6 en 7.2 uit Serre's
boek.
24 november: Exercises 6.7, 7.3 (a)-(f) en
7.4 uit Serre's boek. Hints:
bij opgave 7.3 (a): bekijk de fixpunten
van de transitieve actie van G op G/H en gebruik de formule van Burnside
(zie de Algebra 1 syllabus, opgave 7, hoofdstuk 8).
Bij opgave 7.3 (e) mag je ook gebruik maken van opgave
9.2 uit Serre's boek (dit is de huiswerkopgave van deze week).
1 december: Exercises 1,2,4 en 5 uit de
vierde aanvulling op Serre's boek.
8 december: Exercises 1,2,6,8 uit de
vijfde aanvulling op Serre's boek, en vragen over de collegestof.
Na afloop van het hoorcollege worden hier de huiswerkopgaven,
en de uiterste inleverdatum voor de huiswerkopgaven, vermeld.
We verzoeken je de oplossingen van het huiswerk in het engels
in te leveren.
5 september: Opgave 2 van de
eerste
opgavenset (uiterlijk inleveren
donderdag 15 september voor aanvang van het
werkcollege).
12 september: Opgave 2 van de
tweede
opgavenset (uiterlijk inleveren
donderdag 22 september voor aanvang van het
werkcollege).
19 september: Exercise 0.5 uit de
aanvulling op de stof van deze week (uiterlijk inleveren
donderdag 29 september voor aanvang van het werkcollege).
26 september: Opgave 2.2
uit Serre's boek
(uiterlijk inleveren
donderdag 6 oktober voor aanvang van het werkcollege).
3 oktober: Opgave 3 uit de
extra opgaven set
(uiterlijk inleveren
donderdag 13 oktober voor aanvang van het werkcollege).
10 oktober: Opgave 1.1 uit de
tweede aanvulling op Serre's boek (uiterlijk inleveren
donderdag 20 oktober voor aanvang van het werkcollege).
17 oktober: Geen huiswerk.
31 oktober: Exercise 5.8 uit de
tweede aanvulling op Serre's boek (uiterlijk inleveren
donderdag 10 november voor aanvang van het werkcollege).
7 november: Exercise 2.6 uit de
derde aanvulling (nieuwe versie: 10 november)
op Serre's boek (uiterlijk inleveren
donderdag 17 november voor aanvang van het werkcollege).
14 november: Exercise 3.7 uit de
derde aanvulling (nieuwe versie: 14 november)
op Serre's boek (uiterlijk inleveren
donderdag 24 november voor aanvang van het werkcollege).
21 november: Exercise 9.2 uit Serre's boek; in deze opgave
is F(G) de verzameling van klasse functies die geschreven kunnen worden
als Z={...,-1,0,1,...}-lineaire combinaties van de karakters van G
(uiterlijk inleveren
donderdag 1 december voor aanvang van het werkcollege).
28 november (laatste huiswerk): Exercise 7 uit de
vierde aanvulling op Serre's boek
(uiterlijk inleveren donderdag 8 december
voor aanvang van het werkcollege).
Een totaalcijfer y tussen 0 en 1 wordt aan het eind van het semester vastgesteld
aan de hand van het (op tijd) ingeleverde huiswerk.
Een cijfer x tussen 1 en 10 wordt bepaald waarbij de
tussentoets voor 30% meetelt en het tentamen voor 70%.
Als x groter of gelijk is dan 5.5 dan
eindcijfer=min(10, x+y).
Als x<5.5 dan is x je eindcijfer en ben je niet geslaagd voor het vak.
Hoewel je dus een 10 kan halen zonder huiswerk te maken, adviseren we
je nadrukkelijk huiswerk in te leveren. Het huiswerk
wordt nagekeken teruggegeven, wat belangrijke informatie voor je oplevert
of je de opgaven op correcte wijze hebt opgelost.