Simplificação
Simplificação
Automática
> sin(-x);
-sin(x)
> sqrt(
(Pi-exp(1))^2*x^2 );
Expand
> (a+b)*(c+d) + (c+d)*(e+f);
(a + b) (c + d) + (c + d) (e
+ f)
> expand(");
a c + a d + b c + b d + c e
+ c f + d e + d f
> expand("",c+d);
(c + d) a + (c + d) b + (c
+ d) e + (c + d) f
> expand( cos(x+y) );
cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)
> expand( cosh(5*x) );
16 cosh(x)5
- 20 cosh(x)3 + 5 cosh(x)
> exp(x+y) + ln(x*y) + ln(y*z);
e(x + y) + ln(x
y) + ln(y z)
> expand(");
ex ey
+ ln(x) + 2 ln(y) + ln(z)
> expand( "", ln );
ex ey
+ ln(x y) + ln(y z)
Combine
> cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y);
cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)
> combine(");
cos(x + y)
> combine(
sin(x)^2 );
> combine( 2*ln(3) + sin(x)^2
);
> combine( 2*ln(3) + sin(x)^2,
ln );
ln(9) + sin(x)2
> 3*ln(x) + 1/3*ln(x^6);
> combine( ", ln );
> combine( ", ln, integer, symbolic
);
> combine( "", ln, anything,
symbolic );
> ?combine,ln
Convert
>
convert( cos(x), exp );
> convert( tan(x), sincos );
Simplify
simplify recursivamente aplica a
regra
> 2*cos(x)^3+sin(x)*sin(2*x);
2 cos(x)3
+ sin(x) sin(2 x)
> simplify(");
2 cos(x)
> exp(x)*exp(y) + cos(x)^2 + sin(x)^2;
ex ey
+ cos(x)2 + sin(x)2
> simplify(");
e(x + y) + 1
> simplify("",exp);
e(x+y) + cos(x)2
+ sin(x)2
> simplify(""",trig);
ex ey
+ 1
Side Relations
Das Olimpíadas holandesas da Matemática, em Setembro de
1991:
Deixe a, b, e c serem números reais tais que
a + b + c = 3, a2 + b2 + c2
= 9, a3 + b3 + c3 = 24
o que é a4 + b4 + c4 ?
> siderels := { a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=9,
a^3+b^3+c^3=24 };
siderels := {a + b + c = 3,
a2 + b2 + c2 = 9, a3
+ b3 + c3 = 24}
> simplify( a^4 + b^4 + c^4, siderels
);
69
> simplify( a^5 + b^5 + c^5, siderels
);
198
> polys := map( lhs - rhs, siderels
);
polys := {a + b + c - 3, a2
+ b2 + c2 - 9, a3 +
b3 + c3 - 24}
> with( grobner ): # load the package
> G := gbasis( polys, [a,b,c],
plex );
G := [a + b + c - 3, b2
+ c2 - 3 b - 3 c + c b, 1 - 3 c2 + c3
]
Regras de redução:
a = 3 - b - c, b2 = -bc + 3b -
c2 + 3c, c3 = 3c2 - 1
> normalf( a^4+b^4+c^4, G, [a,b,c],plex
);
69
> simplify( cos(x)^3 + sin(x)^3,{cos(x)^2
+ sin(x)^2 = 1}, [cos(x),sin(x)] );
sin(x)3 +
cos(x) - cos(x) sin(x)2
> simplify( cos(x)^3 + sin(x)^3,
{cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1}, [sin(x),cos(x)] );
cos(x)3 +
sin(x) - sin(x) cos(x)2
Assume
>
f := sqrt(x^2);
> simplify( f );
csgn(x) x
> simplify( f, assume = real );
signum(x) x
> simplify( f, assume = positive
);
x
> simplify( f, assume = negative
);
-x
> simplify( f, symbolic );
x
Sumário
Procedimentos para simplificação de expressões
são
expand
combine
convert
simplify
Outros procedimentos úteis para manipulações de
expressões são factor, normal, collect,
e sort.
Abaixo ilustramos os procedimentos de simplificação em
expressões de certos tipos.
Funções Trigonométricas
Função Exponencial
e Logarítmica
> exp(x+y)+ln(x)-ln(y)/2+ln(2)-ln(3)/2;
> expand(");
> combine(",exp);
> combine(",ln);
> combine(",ln,fraction,symbolic);
> expand(",exp);
Potências
> (x/y)^z;
> expand(");
> combine(",power,symbolic);
xzy(-z)
> simplify(");
Outras Expressões
> k!;
k!
> convert(",GAMMA);
> expand(");
> convert(",factorial);
k!
> GAMMA(101);
> simplify(");
933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952\
17599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210\
916864000000000000000000000000
Side Relations
> simplify( x^3+y^3, {x^2+y^2=1},
[x,y] );
y3 + x - x
y2
> simplify( x^3+y^3, {x^2+y^2=1},
[y,x] );
x3 - y x2
+ y
Assume
> arcsin( sin(y) );
arcsin(sin(y))
> simplify(",symbolic);
y
> sqrt(y^2);
> simplify(",symbolic);
y
Exercises
1) Mostre que 
.
2) Mostre as seguintes relações para a função
de Bessel Jn(t) do primeiro tipo com o
Maple:
(a) t J2(t) = 2 J1(t)
- t J0(t)
(b) t J3(t) = 4 J2(t)
- t J1(t)
3) Considere a expressão ln(xy)+sin(x)2+cos(x)2.
Tranforme nas seguintes expressões.
(a) ln(x) + ln(y) + sin(x)2 + cos(x)2
(b) ln(xy) + 1
(c) ln(x) + ln(y) + 1
4) Simplifique as seguintes expressões.
( f ) cos(x+y) + sin(x)sin(y) + 2(x+y)
( g ) 2cos(x)2 - cos(2x)
5) Calcule as seguintes integrais e cheque as respostas com diferenciação
e simplificação.
6) Use o Maple para checar as seguintes igualdades.
Primeiro veja se o procedimento testeq pode resolver
o problema e verifique a igualdade aplicando rotinas de simplificação
diretamente.
(d) sin(5x) = 5sin(x) -20sin(x)3 +16sin(x)5
Respostas
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