Leerdoel
Het doel van de cursus is, dat studenten
een zekere praktische vaardigheid verkrijgen in het opstellen en analyseren van modellen voor
problemen die voortkomen uit uiteenlopende vakgebieden (zoals de stromingsleer, de biologie, de geofysica).
Inhoud
Het college is een kennismaking met de toegepaste analyse en modelbouw. Het college heeft twee verschillende,
elkaar aanvullende, aspecten. Aan de ene kant wordt er veel aandacht geschonken aan het opstellen van modellen,
in de vorm van differentiaalvergelijkingen, van een aantal fundamentele verschijnselen, zoals warmtetransport,
diffusie, en vloeistofstroming. Het zwaartepunt van het college zal echter liggen bij de analyse van deze vergelijkingen.
Er wordt een aantal
wiskundige methoden geïntroduceerd die essenieel zijn voor dit vakgebied. Vervolgens worden enkele
standaardmodellen behandeld, zoals de warmtevergelijking, de poreuze-mediavergelijking en de Navier-Stokes vergelijking.
Met behulp van deze kennis zullen meer specifieke processen, zoals bijvoorbeeld de dynamica van ijslagen op de Zuidpool,
bestudeerd worden.
Aanbevolen voorkennis
1e en 2e jaarsstof van het wiskunde- of het natuurkundeprogramma
Aanmelden
Opgave via studieweb is verplicht.
Onderwijsvorm en rooster
Hoorcollege gecombineerd met werkcollege.
Hoorcolleges op maandagen 13:15-15:00 u, werkcolleges op woensdagen 13:15-15:00 u. Beide in P.016 B.
De laatste bijeenkomsten zullen, vanwege verlof van de docent, plaatsvinden in de week van 20 november.
Studiemateriaal
Aanbevolen, doch niet verplicht:
A.C. Fowler, `Mathematical models in the applied sciences'
Toetsvorm
Het cijfer wordt bepaald aan de hand van ingeleverde opdrachten en actieve bijdragen tijdens de werkcolleges of een mondeling.
Opmerking: aangezien er een harde deadline is voor het afronden van het vak,
zijn de deadlines voor individuele inleveropgaven vanaf nu strict. Bij te laat inleveren wordt
per week vertraging een punt afgetrokken.
Overzicht, opgaven en planning
Week 36
Introductie modelbouw.
Boek 1.2: Elementair model voor een verkeersstroom en filevorming.
Boek 3.1 - 3.3: Introductie asymptotische analyse.
Boek 3.4: Asymptotiek in algebraische vergelijkingen.
Huiswerk: Vind d.m.v. asymptotische analyse c.q. reeksontwikkeling benaderingen voor
de wortels van de vergelijking x^3-ex-C=0, waarbij e een kleine parameter is,
en C=O(e^2).
Week 37
Vervolg asymptotiek, waarschuwende voorbeelden
Introductie begin- en randwaardeproblemen
Werkcollege:
Uitwerken asymptotiek in algebraische vergelijkingen.
Uitwerken beginwaardeprobleem m.b.v. asymptotiek en variatie van constanten.
Week 38
Boek 4.1 and 4.2: Randwaardeproblemen: Grenslaagtheorie en 'matched asymptotic expansions'.
Huiswerk: inleveropgave 1 ps-file,
pdf-file.
Inleveren voor 4 oktober 2006.
Week 39
Boek 4.1 and 4.2: Vervolg randwaardeproblemen en grenslagen
Boek 4.3: grenslagen in het inwendige van een domein.
Huiswerk: inleveropgave 2 ps-file,
pdf-file.
Inleveren voor 11 oktober 2006.
Week 40
Boek 5.1: Warmte transport en diffusie.
Behoudswetten
Brownse beweging
Niet-lineare diffusie
Randvoorwaarden
Werkcollege:
Oplossingen warmtevergelijkinge op begrensde domeinen
Opgave over afkoelen van een metalen bol ps-file,
pdf-file
Week 41
Boek 5.1: Warmte transport en diffusie.
Herhaling oplossingen op begrensde domeinen
Uniciteit
Fundamentele oplossing op onbegrensde domeinen
Werkcollege: eigenschappen van fundamentele oplossing op onbegrensde domeinen
Huiswerk: inleveropgave 3 ps-file,
pdf-file.
Zie ook leerstof week 42. Inleveren voor 2 november 2006.
Week 42
Geen hoorcollege op maandag 16 oktober!
Boek p. 66/67: Similarity solutions -- oplossingen die zich op een 'zelf-gelijkvormige' manier gedragen.
Schets van achtergrond m.b.v. warmtevergelijking op op onbegrensde domein
Vb.: constructie voor poreuze-mediavergelijking
Week 43
Collegevrije week
Week 44
Boek 6.1: Vloeistofdynamica/stromingsleer.
Afleiding Euler vergelijkingen voor ideale, i.e., niet-viskeuze (en niet-samendrukbare) vloeistoffen
Afleiding Navier-Stokes vergelijkingen voor viskeuze, maar niet-samendrukbare (incompressibele) vloeistoffen
Randvoorwaarden
Reynoldsgetal, Stokes flow voor heel kleine Reynoldsgetallen
Week 45
Eerste schets van Stefan probleem voor bevriezend meer, en van een vloeistofdynamische benadering van de mechanica van een ijskap op een eiland.
De eindopdrachten zijn beschreven in een ps-file en
een pdf-file. Kies een van de twee opdrachten uit voor woensdag 8 november. T/m woensdag 15 november zullen de college-uren op maandag en woensdag aan het maken van de opdrachten besteed worden. Op maandag 20 en woensdag 22 november wordt van eenieder verwacht dat hij/zij een deel van de gemaakte opdracht gaat presenteren.
|