Leerdoel
Het doel van de cursus is, dat studenten
een zekere praktische vaardigheid verkrijgen in het opstellen en analyseren van modellen voor
problemen die voortkomen uit uiteenlopende vakgebieden (zoals de stromingsleer, de biologie, de geofysica).
Inhoud
Het college is een kennismaking met de toegepaste analyse en modelbouw. Het college heeft twee verschillende,
elkaar aanvullende, aspecten. Aan de ene kant wordt er veel aandacht geschonken aan het opstellen van modellen,
in de vorm van differentiaalvergelijkingen, van een aantal fundamentele verschijnselen, zoals warmtetransport,
diffusie, en vloeistofstroming. Het zwaartepunt van het college zal echter liggen bij de analyse van deze vergelijkingen.
Er wordt een aantal
wiskundige methoden geïntroduceerd die essenieel zijn voor dit vakgebied. Vervolgens worden enkele
standaardmodellen behandeld, zoals de warmtevergelijking, de poreuze-mediavergelijking en de Navier-Stokes vergelijking.
Met behulp van deze kennis zullen meer specifieke processen, zoals bijvoorbeeld de dynamica van ijslagen op de Zuidpool,
bestudeerd worden.
Aanbevolen voorkennis
1e en 2e jaarsstof van het wiskunde- of het natuurkundeprogramma
Aanmelden
Opgave via studieweb is verplicht.
Onderwijsvorm en rooster
Hoorcollege gecombineerd met werkcollege.
Hoorcolleges op donderdagen 13:00-15:00 u, te beginnen op 6 sept. Werkcolleges op dinsdagen 11:00-13:00 u. Beide in P.015 B. De werkcollegedocent is Sjors van der Stelt.
Studiemateriaal
Aanbevolen, doch niet verplicht:
A.C. Fowler, `Mathematical models in the applied sciences'
Toetsvorm
Het cijfer wordt bepaald aan de hand van ingeleverde opdrachten en actieve bijdragen tijdens de werkcolleges of een mondeling.
Opmerking: aangezien er een harde deadline is voor het afronden van het vak,
zijn de deadlines voor individuele inleveropgaven strict. Bij te laat inleveren wordt
per week vertraging een punt afgetrokken.
Overzicht, opgaven en planning
Week 36
Introductie modelbouw.
Boek 1.2: Elementair model voor een verkeersstroom en filevorming.
Opgaven als
ps-file,
pdf-file.
Week 37
Vervolg verkeersmodel
Boek 3.1 - 3.3: Introductie asymptotische analyse.
Boek 3.4: Asymptotiek in algebraische vergelijkingen.
Opgaven, waaronder een inleveropgave als
ps-file,
pdf-file.
Inleveren uiterlijk op 25 september bij Sjors of in zijn postvakje.
Week 38
Afronding asymptotiek in algebraische vergelijkingen
Introductie begin- en randwaardeproblemen
Boek 4.1 and 4.2: Randwaardeproblemen: Grenslaagtheorie en 'matched asymptotic expansions'
Opgaven als
ps-file,
pdf-file.
Week 39
Herhaling/vervolg grenslaagtheorie
Boek 4.3: Aanzet tot grenslagen in het inwendige van het domein
Werkcollege: Opgave met vervolg grenslagen in het inwendige van het domein
Opgaven, waaronder een inleveropgave als
ps-file,
pdf-file.
Inleveren uiterlijk op 9 oktober bij Sjors of in zijn postvakje.
Week 40
Recapitulatie grenslagen
Modelleren van een hangbrug: afleiden kettinglijn voor hangende kabel, differentiaalvergelijking voor wegdek onder externe krachten
Over de beroemde ingestorte Tacoma bridge is een filmpje te vinden op You Tube.
Inleveropgave: het tweede deel van de hangbrug opgave in
ps-formaat of
pdf-formaat.
Inleveren uiterlijk op 16 oktober bij Sjors of in zijn postvakje.
Week 41
Afleiding warmte- of diffusievergelijking m.b.v. behoudswet
Afleiding niet-lineaire diffusievergelijking
Afleiding diffusievergelijking m.b.v. Brownse beweging/Markov-keten idee
Oplossing van warmtevergelijking met Dirichlet randvoorwaarden op interval [0,1]
Opgaven als
ps-file,
pdf-file.
Week 42
Warmtevergelijking op onbegrensd domein, constructie van oplossing
Eigenschappen van de geconstueerde oplossing
Uniciteit aangetoond op begrensd domein
Book 5.1: Heat transfer and diffusion.
Fundamental solution on infinite domain, smooting property
Uniqueness
Similarity solutions
Opgaven, waaronder een inleveropgave, als
ps-file,
pdf-file.
Inleveren uiterlijk op 6 november bij Geertje of in haar postvakje.
Week 44
Toelichting 'zelfgelijkvormigheidsoplossingen' (similarity solutions)
Eindige voortplantingssnelheid voor fronts in niet-lin. diffusievergelijking.
Boek 6.1: Afleiding van de Euler vergelijkingen voor incompressibele, niet-viskeuze vloeistoffen
Opgaven als
ps-file,
pdf-file.
Week 45
Nut van 'zelfgelijkvormigheidsoplossingen' (similarity solutions)
Boek 6.2: Afleiding van de Navier-Stokes vergelijkingen voor incompressibele, viskeuze vloeistoffen
Discussie over Reynolds getal, limiet van Stokes flow
belang van viscositeit voor grenslaaggedrag rond `objecten', ook bij kleine viscositeit
begin Poiseuille flow
Opgaven als
ps-file,
pdf-file.
Week 46
vervolg Poiseuille flow, laminaire stroming
discussie over betekenis van `stabiliteit' voor de geconstrueerde oplossing van de PDV
afleiding `stream function' en formulering van NS voor deze stream function.
Op dinsdag 20 november is er geen werkcollege.
Week 47
stabiliteit van laminaire stroming in Poiseuille flow m.b.v. stream function
introductie van eindopdrachten
Als eindopdracht maakt iedereen een van de drie opdrachten uit deze set (ps-file,
pdf-file). Tijdens de werk- en hoorcolleges van 27 en 29 nov.
kan hieraan gewerkt worden. Vervolgens levert iedereen afzonderlijk een verslag in, uiterlijk
op 4 december. Tijdens de werk- en hoorcolleges van 4 en 6 dec. presenteren we de gemaakte opdrachten
aan elkaar. Iedereen aan de beurt om een deel van de door hem/haar gemaakte opdracht te presenteren.
Het cijfer wordt mede bepaald door de presentatie, waarbij vooral op inhoud wordt beoordeeld.
|