Het gemiddelde cijfer over al de inleveropgaven bepaalt 1/3 deel van het eindcijfer, het tentamen 2/3 deel. Bij de bepaling van het gemiddelde cijfer over de ingeleverde opgaven wordt de opgave waarvoor het laagste cijfer is behaald (of die mogelijk niet ingeleverd is) niet meegeteld.
Er is geen speciale regeling voor de hertentamens: men kan meedoen zonder opgaven te hebben ingeleverd.
Behandeld op het college:
OPMERKING: Twee uur college is onvoldoende geweest om echt aan de sommen te beginnen. Het bijbehorende practicum heeft dus alleen een oefenkarakter, dit betekent in het bijzonder dat er deze week nog geen inleveropgave is.
Opgaven:
OPMERKING: In sommige opgaven wordt verwezen naar het computerprogramma `PHASER'. Wij maken daar geen gebruik van. Alle verwijzingen naar `PHASER' kunnen dan ook genegeerd worden.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Een voorbeeld bij de existentie- en uniciteitstelling. Beschouw de vergelijking dy/dx = f(y) met f(y) = a y^m met y(x_0) = y_0 voor willekeurige constanten a > 0 en m > 1 .
(a) Bepaal de oplossing mbv primitiveren. (Integreer alleen over intervallen waarvan y = 0 geen element is.)
(b) Bepaal de kritieke waarde x_c die de grens van het existentie-interval is en laat zien dat de oplossing ontploft in eindige tijd. De oplossing is dus niet continu (laat staan differentieerbaar) voort te zetten tot de gehele reele rechte. Maak een plaatje voor a = 1 , m = 2 , x_0 = 0 en verschillende waarden van y_0 .
(c) Neem nu m < 1 . Neem x > x_c en bepaal lim_{x -> x_c} y(x) . Als bovendien m > 0 , dan is f(x) uit te breiden tot een continue functie op R met f(y) = 0 voor y = 0 en y < 0 . Hoe kun je dan de oplossing y(x) uitbreiden voor x < x_c ? Dit betekent dat er geen eenduidigheid is voor het beginwaardeprobleem y(x_1) = 0 met x_1 = x_c of x_1 < x_c : de oplossing kan ieder gewenst moment besluiten om positief te worden. Daarna is de voortzetting wel eenduidig. Maak een plaatje voor a = 1 , m = 2 , x_0 = 0 en verschillende waarden van y_0 .
Beschouw voor reele a het systeem dx/dt = a x^2 - f(x) met f(x) = 0 als x = 0 en f(x) = - x^4 sin(1/x^2) voor alle andere waarden van x .
(a) Laat zien dat f(x) continu differentieerbaar is.
(b) Neem a = 0. Bepaal alle kritieke punten en bepaal de stabiliteit van deze kritieke punten. Laat met behulp van de definitie zien dat het punt x = 0 stabiel is, maar dat het niet asymptotisch stabiel is. Opmerking: het is dus niet de bedoeling dat er gebruik gemaakt wordt van Lemma 1.12.
(c) Laat zien dat -1 < x^2 sin(1/x^2) < 1 voor alle x .
(d) Laat zien dat het systeem slechts 1 kritiek punt heeft als |a| > 1 . Bepaal de stabiliteit van dit kritieke punt.
(e) Geef met behulp van een `grafische constructie' aan hoe de dynamica van dit systeem verandert als a afneemt van a > 1 tot a < - 1 . Schets de fase-portretten voor enkele -- zelfgekozen -- waardes van a tussen -1 en 1. Opmerking: het is niet de bedoeling om op zoek te gaan naar expliciete uitdrukkingen voor de bifurcatiewaarden van a .
INLEVEROPGAVE: Extra opgave E1.
Behandeld op het college:
Opgaven:
INLEVEROPGAVE: 2.3 en 2.4 tezamen.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Beschouw de vergelijking x' = a + b x - sin x voor reële bifurcatieparameters a en b .
a) Neem a = b = 0. Bepaal de kritieke punten en hun stabiliteit. Schets het faseportret.
b) Neem b = 0. Schets het bifurcatiediagram (als functie van a). Laat zien dat alle bifurcaties van het 'saddle-node' type zijn.
c) Neem a = 0. Schets het faseportret voor b = 2/pi, b = -2/(3 pi) en b = 2/(5 pi). Merk op dat niet alle kritieke punten expliciet te bepalen zijn; gebruik de grafische methode.
d) Neem a = 0. Schets het bifurcatiediagram (als functie van b). Geef in dit diagram de waarden b = 0, b = 2/pi, b = -2/(3 pi) en b = 2/(5 pi) expliciet aan. Merk op dat ook hier weer begruik dient te worden gemaakt van de grafische methode. Voor welke waarde van b is er een bifurcatie die niet van het 'saddle-node' type is?
e) Bepaal alle paren (a,b) waarvoor er een bifurcatie kan plaatsvinden die niet van het 'saddle-node' type is.
(a) x = y + lambda_2/3 i.p.v. x = + lambda_2/3 .
(b) Maak geen gebruik van (a).
(c) lambda_1 = lambda_2^3/27 i.p.v. lambda_1 < lambda_2^3/27 .
INLEVEROPGAVE: Extra opgave E3.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Beschouw het systeem
dx_1/dt = x_1(4-x_1^2)
dx_2/dt = x_2(2-x_2)
a) Bepaal alle kritieke punten.
b) Schets het faseportret.
c) Beschouw de oplossingen phi(t; x_0) met beginvoorwaarde x_0 op de cirkel rond de oorsprong met straal 1 , d.w.z. x_0 = (x_1(0), x_2(0)) = (cos theta, sin theta) voor theta in [0, 2 pi) . Bepaal voor iedere theta de w-limietverzameling van de baan gamma(x_0) = gamma(theta) .
Beschouw het vlakke systeem dx/dt = f(x) met f minstens C^1 .
a) Laat zien dat baankrommen (in het fase vlak) elkaar niet kunnen snijden.
b) Gegeven is dat voor een oplossing x(t) geldt dat x(t) -> a als t -> oneindig. Laat zien dat a een evenwichtspunt van de differentiaalvergelijking moet zijn. (Opmerking: de redenering " x -> een constante waarde als t -> oneindig, dus dan moet dx/dt -> 0 " is in het algemeen onjuist (bedenk een tegenvoorbeeld).)
c) Zij p een punt in de w-limietverzameling w(x_0) van de baan g(x_0); g(p) is de baan die het punt p als beginvoorwaarde heeft. Laat zien dat elk punt op de baan g(p) een element is van de w-limietverzameling w(x_0) van de baan g(x_0) .
INLEVEROPGAVE: Extra opgave E4 .
Behandeld op het college:
Opgaven:
d^2theta/dt^2 + mu theta(1 - theta)(lambda - theta) = 0
voor reële parameters lambda en mu (dus niet alleen 0 < lambda < 1/2 ). Geef een schets van alle `structureel verschillende' fase-portretten in het (lambda, mu)-vlak (zie figuur 2.12 (p. 36 boek) voor een vergelijkbare situatie voor een 1-dimensionaal systeem met twee parameters). Bepaal expliciet de kritieke parametercombinaties (lambda, mu) waarvoor bifurcaties plaatsvinden. Denk hierbij zowel aan lokale bifurcaties van kritieke punten als aan globale bifurcaties. Je hoeft niet te bewijzen dat een bifurcatie van een bepaalde soort is.
Om gevoel te krijgen voor deze opgave is het nuttig eerst (b) en (c) te maken.
INLEVEROPGAVE: 7.14 (d) met bovenstaande uitbreiding.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Behandeld op het college:
Opgaven:
Beschouw de vlakke systemen dx/dt = A x + b(t) . Geef de oplossing die voldoet aan x(0) = x_0 voor:
a) A = ( 0 1 ; 1 0) en b(t) = ( 0 ; t ), x_0 = ( 2 ; 0 )
b) A = (1 2 ; 0 -2 ) en b(t) = ( e^t cos(t) ; 2 e^t ), x_0 = ( 0 ; 0 ).
(Notatie: matrix bestaat uit twee rijen, gescheiden door ; )
Behandeld op het college:
Opgaven:
INLEVEROPGAVE: 10.1, geval 1, 2 en 5.
Behandeld op het college:
Opgaven:
GEEN INLEVEROPGAVE
Geef met behulp van de methode van Euler de discrete benadering met (kleine positieve) stapgrootte h van:
a) dx/dt = ( 0 1 ; 1 2) x
b) x'' + x' + x = 0 , waarbij x een reele variabele is. (Hint: schrijf dit eerst als een 2-dimensionaal systeem.)
(Notatie: matrix bestaat uit twee rijen, gescheiden door ; )