Het gemiddelde cijfer over al de inleveropgaven bepaalt 1/3 deel van het eindcijfer, het tentamen 2/3 deel. Bij de bepaling van het gemiddelde cijfer over de ingeleverde opgaven wordt de opgave waarvoor het laagste cijfer is behaald (of die mogelijk niet ingeleverd is) niet meegeteld.
Er is geen speciale regeling voor de hertentamens: men kan meedoen zonder opgaven te hebben ingeleverd. Voor een hertentamen tellen eerder ingeleverde opgaven NIET mee.
De tweede herkansing is verplaatst van augustus naar 19 mei 2004, 9:30-12:30. Aanmelden is verplicht!
Wel behandeld, geen tentamenstof: deel 3.3, 3.5.
De tentamens mogen NIET met een grafische rekenmachine worden gemaakt!
Behandeld op het college:
OPMERKING: Twee uur college is onvoldoende geweest om echt aan opgaven te beginnen. Het bijbehorende practicum heeft dus alleen een oefenkarakter, dit betekent in het bijzonder dat er deze week nog geen inleveropgave is.
Opgaven:
OPMERKING: In sommige opgaven wordt verwezen naar het computerprogramma `PHASER'. We maken daar geen gebruik van en alle verwijzingen naar `PHASER' kunnen dus genegeerd worden.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Een voorbeeld bij de existentie- en uniciteitstelling. Beschouw de vergelijking dy/dx = f(y) met f(y) = a y^m met y(x_0) = y_0 voor willekeurige constanten a > 0 en m > 1 .
(a) Bepaal de oplossing mbv primitiveren. (Integreer alleen over intervallen waarvan y = 0 geen element is.)
(b) Bepaal de kritieke waarde x_c die de grens van het existentie-interval is en laat zien dat de oplossing ontploft in eindige tijd. De oplossing is dus niet continu (laat staan differentieerbaar) voort te zetten tot de gehele reele rechte. Maak een plaatje voor a = 1 , m = 2 , x_0 = 0 en verschillende waarden van y_0 .
(c) Neem nu m < 1 . Neem x > x_c en bepaal lim_{x -> x_c} y(x) . Als bovendien m > 0 , dan is f(x) uit te breiden tot een continue functie op R met f(y) = 0 voor y = 0 en y < 0 . Hoe kun je dan de oplossing y(x) uitbreiden voor x < x_c ? Dit betekent dat er geen eenduidigheid is voor het beginwaardeprobleem y(x_1) = 0 met x_1 = x_c of x_1 < x_c : de oplossing kan ieder gewenst moment besluiten om positief te worden. Daarna is de voortzetting wel eenduidig. Maak een plaatje voor a = 1 , m = 2 , x_0 = 0 en verschillende waarden van y_0 .
Beschouw voor reele a het systeem dx/dt = a x^2 - f(x) met f(x) = 0 als x = 0 en f(x) = - x^4 sin(1/x^2) voor alle andere waarden van x .
(a) Laat zien dat f(x) continu differentieerbaar is.
(b) Neem a = 0. Bepaal alle kritieke punten en bepaal de stabiliteit van deze kritieke punten. Laat met behulp van de definitie zien dat het punt x = 0 stabiel is, maar dat het niet asymptotisch stabiel is. Opmerking: het is dus niet de bedoeling dat er gebruik gemaakt wordt van Lemma 1.12.
(c) Laat zien dat -1 < x^2 sin(1/x^2) < 1 voor alle x .
(d) Laat zien dat het systeem slechts 1 kritiek punt heeft als |a| > 1 . Bepaal de stabiliteit van dit kritieke punt.
(e) Geef met behulp van een `grafische constructie' aan hoe de dynamica van dit systeem verandert als a afneemt van a > 1 tot a < - 1 . Schets de fase-portretten voor enkele -- zelfgekozen -- waardes van a tussen -1 en 1. Opmerking: het is niet de bedoeling om op zoek te gaan naar expliciete uitdrukkingen voor de bifurcatiewaarden van a .
INLEVEROPGAVE: Extra opgave E2.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Let op: Volgende week behandelen we nog stof uit hfd 2 (t/m case II), en we beginnen aan hfd 7. Zorg dus dat je kopieen van dat hoofdstuk maakt!
Beschouw de vergelijking x' = a + b x - sin x voor reële bifurcatieparameters a en b .
a) Neem a = b = 0. Bepaal de kritieke punten en hun stabiliteit. Schets het faseportret.
b) Neem b = 0. Schets het bifurcatiediagram (als functie van a). Maak aannemelijk dat alle bifurcaties van het 'saddle-node' type zijn (dat kan precies, komt volgende week (case II), maar het mag nu zoals in het college).
c) Neem a = 0. Schets het faseportret voor b = 2/pi, b = -2/(3 pi) en b = 2/(5 pi). Merk op dat niet alle kritieke punten expliciet te bepalen zijn; gebruik de grafische methode.
d) Neem a = 0. Schets het bifurcatiediagram (als functie van b). Geef in dit diagram de waarden b = 0, b = 2/pi, b = -2/(3 pi) en b = 2/(5 pi) expliciet aan. Merk op dat ook hier weer begruik dient te worden gemaakt van de grafische methode. Voor welke waarde van b is er een bifurcatie die niet van het 'saddle-node' type is?
e) Bepaal alle paren (a,b) waarvoor er een bifurcatie kan plaatsvinden die niet van het 'saddle-node' type is.
INLEVEROPGAVE: Extra opgave E3.
Behandeld op het college:
Opgaven:
INLEVEROPGAVE: 2.9 (b) en (c). Teken de bifurcatiediagrammen voor diverse waarden van a (waarvoor het diagram er anders uitziet) en teken een faseportret bij ieder gebied in een bifurcatiediagram.
Behandeld op het college:
Opgaven:
d^2theta/dt^2 + mu theta(1 - theta)(lambda - theta) = 0
voor reële parameters lambda en mu . Geef een schets van alle `structureel verschillende' fase-portretten in het (lambda, mu)-vlak (zie figuur 2.12 (p. 36 boek) voor een vergelijkbare situatie voor een 1-dimensionaal systeem met twee parameters). Bepaal expliciet de kritieke parameter-combinaties (lambda, mu) waarvoor er een bifurcatie van een kritiek punt of een andere structurele verandering plaatsvindt.
INLEVEROPGAVE: 7.14 (d) met bovenstaande uitbreiding.
Beschouw het systeem
dx_1/dt = x_1(4-x_1^2)
dx_2/dt = x_2(2-x_2)
a) Bepaal alle kritieke punten.
b) Schets het faseportret.
c) Beschouw de oplossingen phi(t; x_0) met beginvoorwaarde x_0 op de cirkel rond de oorsprong met straal 1 , d.w.z. x_0 = (x_1(0), x_2(0)) = (cos theta, sin theta) voor theta in [0, 2 pi) . Bepaal voor iedere theta de w-limietverzameling van de baan gamma(x_0) = gamma(theta) .
Behandeld op het college:
Opgaven:
Behandeld op het college:
Opmerking: In het laatste voorbeeld stond er helaas een verkeerde matrix op het bord. De einduitkomst c'= ( e^{2t} + 1 ; -e^{2t} + 1 ) was wel correct, maar in de regel ervoor moest er telkens e^{3t} en e^t staan ipv e^{-3t} en e^{-t} .
Let op: Dit is alles dat we uit hfd 8 behandelen. Verdere planning: in ieder geval volgende week 9.1 t/m 9.3, daarna afhankelijk van de interesse van de groep.
Opgaven:
Beschouw de vlakke systemen dx/dt = A x + b(t) . Geef de oplossing die voldoet aan x(0) = x_0 voor:
(a) A = ( 0 1 ; 1 0) en b(t) = ( 0 ; t ), x_0 = ( 2 ; 0 )
(b) A = (1 2 ; 0 -2 ) en b(t) = ( e^t cos(t) ; 2 e^t ), x_0 = ( 0 ; 0 ).
(Notatie: matrix bestaat uit twee rijen, gescheiden door ; )
Behandeld op het college:
Opgaven:
Let op: De laatste twee weken behandelen we stof uit hfd 3 en 15.1, 15.2. Zorg dus dat je hiervan kopieen maakt!
Beschouw het stelsel dx/dt = A x met A = ( a a ; (a+2) (a-2) ) waarin a een vast element van R is.
(a) Voor welke a is het kritieke punt (0,0) asymptotisch stabiel?
(b) Neem a = -2 . Bepaal de oplossing x = (x_1(t), x_2(t)) van dit stelsel differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarde (x_1(0), x_2(0)) = (b, 2) met b element van R.
(c) Schets x_1(t) van de oplossing uit (b) voor b=0 en b=4 .
(d) Schets het faseportret voor a = -2 en geef hierin de banen uit (b) met b=0 en b=4 aan.
(e) Neem a=0 . Bepaal het type stabiliteit (stabiel, asymptotisch stabiel, instabiel) van (0,0) m.b.v. een Lyapunov functie.
Behandeld op het college:
Opgaven:
Beschouw de harmonische oscillator (HO) x'' + x = 0 .
(a) Schrijf (HO) als 2-dimensionaal systeem in (x_1,x_2). Geef de uitdrukking voor de eerste integraal (behouden grootheid, energie) H = H(x_1,x_2). Zie in dat de banen gesloten krommen (cirkels) zijn en geef een schets van het fase-vlak.
(b) Geef met behulp van de methode van Euler de discrete benadering met (kleine, positieve) stapgrootte h van het in (a) gevonden stelsel. Dit definieert een lineare afbeelding A_E(h): R^2 -> R^2 waarbij x_{n+1} = A_E(h) x_{n}.
(c) Laat zien dat het kritieke punt (0,0) van de afbeelding in (b) instabiel is (en dat de banen rond (0,0) dus niet cirkelvormig zijn zoals in het continue systeem).
(d) Definieer H_n = H(x_{1,n},x_{2, n}) (met x_n = (x_{1,n},x_{2, n})), waar H(x_1,x_2) de in (a) gevonden eerste integraal is. Laat zien dat H_n niet behouden is, met andere woorden: laat zien dat H_{n+1} ongelijk is aan H_{n} (behalve voor H_0=0).
(e) Om de invloed van de discretisatie te `balanceren' kan een kunstmatige, kleine, wrijvingsterm in (HO) worden geintroduceerd: x'' + e x' + x = 0 met e < 1. Schrijf ook dit systeem als 2-dimensionaal systeem en geef daarna weer de benaderende lineaire afbeelding A_e(h) die volgt uit de toepassing van de methode van Euler met stapgrootte h.
(f) Bepaal een uitdrukking voor e*, de kritieke waarde van e=e(h) waarvoor het kritieke punt (0,0) van de in onderdeel (e) gevonden afbeelding A_e(h) niet langer instabiel is, maar ook niet asymptotisch stabiel is. Concludeer dat de banen van A_e*(h) wel op gesloten krommen liggen, zoals in de harmonische oscillator bij (a). (Zie example 15.11 in het boek.)
Hint: asymptotische stabiliteit hebben we hier als |lambda|<1 voor alle eigenwaarden lambda, en de gezochte grens is |lambda|=1 .