In het alledaagse leven weten we allemaal wat
'even veel' betekent. De
verzamelingen waarover we dagelijks praten zijn beperkt,
niet oneindig. We kunnen de elementen daarvan tellen.
In de wiskunde komen vaak
verzamelingen die oneindig zijn voor, b.v.
natuurlijke getallen, even getallen of reële getallen.
Soms willen wij weten welke
verzameling 'groter' is. Op een vraag of er meer
natuurlijke dan even getallen zijn krijg je meestal als
antwoord 'ja' - elk even getal is immers een natuurlijk
getal maar niet andersom. Dit antwoord is echter op het
begrip 'inclusie' en niet 'aantal elementen' gebaseerd. Om
over 'hoe veel' te kunnen praten is er een middel dat als
een telmachine kan dienen nodig. En zo'n middel bestaat. Een
bijectie. Wat is een
bijectie? Een bijectie is een speciaal soort functie. Een functie F: X -> Y, waar X en Y willekeurige
verzamelingen zijn, noemen wij een bijectie als F(X)=Y
(d.w.z. voor elke y in Y bestaat x in X die voldoet aan
f(x)=y) en F neemt voor verschillende x in X verschillende
waarden aan (als x1 niet gelijk is aan x2, dan is F(x1) ook
niet gelijk aan F(x2) ). Twee verzamelingen X en Y zijn
'even groot' als er een bijectie F: X -> Y
bestaat. Voorbeelden: 1. De verzameling van natuurlijke getallen N is even
groot als de verzameling van even getallen E. Funktie F: N
-> E, F(n)=2*n, is een bijectie tussen N en E. 2. De verzameling van natuurlijke getallen N is even
groot als de verzameling van oneven getallen O. Funktie F: N
-> O, F(n)=2*n-1, is een bijectie tussen N en O. 3. De verzameling van natuurlijke getallen N is even
groot als de verzameling van positieve rationale getallen Q
(rationale getallen zijn breuken met als teller en noemer
natuurlijke getallen). Hier is de constructie van een
bijectie wat moeilijker. Wij maken eerst een oneindig tabel
van alle rationale getallen. In de m-de rij en n-de kolom
plaatsen wij de breuk m/n. Op deze manier is de hele tabel
ingevuld, maar alle getallen staan er dubbel in (b.v. 1/2
staat daar als 1/2, 2/4, 3/6, ... -d.w.z. in de eerste rij
en tweede kolom, in de tweede rij en vierde kolom, in de
derde rij en zesde kolom,...) . 2/1 ,
2/2
, 2/3 ,
2/4
, 2/5 ,
2/6
, 2/7 ... 3/1 , 3/2 ,
3/3
, 3/4 , 3/5 ,
3/6
, 3/7 ... 4/1 ,
4/2
, 4/3 ,
4/4
, 4/5 ,
4/6
, 4/7 ... ......... Wij schrappen de getallen die dubbel voorkomen uit de
tabel. Elk getal komt nu maar een keer in de tabel voor
('groot'). We proberen 'grote' getallen op een rij te zetten
(om bijectie van Q met N te defineren). Het lukt ons niet om
eerst b.v. de eerste rij door te lopen en daarna de tweede -
de eerste rij is immers oneindig, wij kunnen nooit naar de
tweede rij 'springen' (wij zullen niet weten op welke plaats
in de rij b.v. 2/1 zou moeten staan; eerst zouden immers
alle, oneindig veel, getallen uit de eerste rij van de tabel
aan de orde moeten komen). Hetzelfde gelt voor de kolomen.
Maar ... wij kunnen schuin lopen (door de 'grote' getallen):
1/1, 1/2, 2/1 , 1/3 , 3/1 , 1/4 , 2/3 , 3/2 , 4/1, ... .
Voor elk 'groot' getal uit de tabel kunnen wij op deze
manier na een eindig aantal stappen zijn plaats in de rij
vaststellen. De gezochte bijectie F: N -> Q kan
gedefineerd worden door F(n)=n-de element van de bovenstande
rij. Het is inderdaad een bijectie (elk positief rationaal
getal zit immers precies een keer in deze rij). 4. Behalve rationale getallen zijn er nog irrationale
getallen (irrationale getallen zijn getallen die je niet als
een breuk kan schrijven, b.v. e = 2,71..., pi = 3,14...,
wortel(2) = 1,41...). Er zijn essentieel meer irrationale
dan rationale getalen (hoewel je ze niet zo vaak tegen komt
in het dagelijks leven). Maar om dit hier te bewijzen zouden
wij eerst iets meer over irrationale getallen moeten
vertellen. (De reële getallen zijn de rationale en irrationale
getallen samen.) Opdrachten: 1. Bewijs dat er even veel getallen zijn die deelbaar
zijn door 3 als getallen die deelbaar zijn door 7. (Bedenk
een passende bijectie.) 2. Bewijs dat er even veel rationale getallen zijn die
kleiner zijn dan 1 en groter dan 0 als natuurlijke
getallen. 3. Bewijs dat er even veel rationale getallen zijn die
kleiner zijn dan 1 en groter dan 0 als alle rationale
getallen. (Tip: Gebruik voorbeeld 3 en opdracht 2.) 4. Bewijs dat wortel(2) geen breuk is. Antwoorden: 1. Als N3 getallen deelbaar door 3 zijn , N7 getallen
deelbaar door 7 zijn , dan is F: N3 -> N7, waar F(x) = 7
* x / 3 , de gezochte bijectie. 2. Alle rationale getallen kleiner dan 1 en groter dan 0
zitten boven het diagonaal in de tabel uit voorbeeld 3. Wij
kunnen schuin 'lopen' door de 'grote' getallen boven (rood)
het diagonaal (blauw). (Getallen boven het diagonaal zijn
kleiner dan 1, getallen op het diagonaal zijn gelijk aan 1,
getallen onder het diagonaal zijn groter dan 1). Dit levert
de gezochte bijectie op : 1/2, 1/3 , 1/4 , 2/3 , 1/5, 1/6,
2/5, 3/4, 1/7, 3/5 ... 1/1,
1/2
,
1/3
,
1/4
,
1/5,
1/6
,
1/7 ... 2/1,
2/2
, 2/3
,
2/4,
2/5
,
2/6
,
2/7 ... 3/1,
3/2,
3/3
,
3/4,
3/5
,
3/6
,
3/7 ... 4/1,
4/2 ,
4/3,
4/4,
4/5,
4/6,
4/7 ... ......... 3. Uit voorbeel 3 weten wij dat er even veel relationele
getallen als natuurlijke getallen zijn. Uit opdracht 2 weten
wij dat er even veel relationele getallen kleiner zijn dan 1
en groter dan 0 als natuurlijke getallen zijn. De relatie
'even groot zijn' is transitief (als 'A even groot als B' en
'B even groot als C' dan ook 'A even groot als C') ( als F1:
A -> B en F2: B -> C surjecties zijn, dan is F : A
-> C, F(a)=F2(F1(a)) een gezochte surjectie tussen A en
C) 4. Stel voor dat het wel zo is, d.w.z. wortel(2)= m / n,
waar m, n natuurlijke getallen zijn. Dan (wortel(2))^2 = m^2
/ n^2 (door beide kanten tot de tweede macht te verheffen).
Dus 2= m^2 / n^2 en 2*n^2=m^2. Maar 2* n^2 kan je een oneven
aantal keren delen door 2 (twee keer het aantal keren dat je
n door 2 kan delen + 1) en m^2 een even aantal keren (twee
keer het aantal keren dat je m door 2 kan delen). Het klopt
dus niet. Wortel(2) kan geen breuk zijn. 1. De tekst is bedoeld voor leerlingen die geintereseerd
zijn in b.v. wiskunde of natuurkunde studie. 2. De verwachte resultaten: - interesse in de reële getallen gewekt - begrip 'bewijs door contradictie (tegenspraak)'
duidelijker geworden (wortel(2) geen breuk ) - een heel abstrakt begrip 'bestaat een funktie'
geintroduceerd (als een definitie en bewijs middel). 3. Veel plezier! 1. Hoe kan je de grote van de verzamelingen in de
wiskunde vergelijken? 2. Zijn er meer getallen die deelbaar zijn door 2 dan
door 17? 3. Is wortel(2) een rationaal getal (een breuk)? En pi
? 4. Is de verzameling van de rationale getallen (breuken)
groter dan de verzameling van natuurlijke getallen?
Waarom? Je kan deze pagina ook als Word-document downloaden.