In vorige lessen is aandacht besteed aan de beschrijving van translaties (rechtlijnige bewegingen). In de komende twee lessen zal nu gekeken worden naar een beschrijving van rotaties (draaiingen). Er zal blijken dat de beschrijving van beide soorten bewegingen erg op elkaar lijken. Wanneer we enkele extra grootheden invoeren kunnen we draaiingen van lichamen (denk bijvoorbeeld aan een fietswiel, of de aarde) op precies dezelfde manier beschrijven als de rechtlijnige bewegingen (translaties) van lichamen. Tijdens deze lessen zullen we ook enkele voorbeelden van rotaties om ons heen bekijken, zoals een fietswiel en een schoonspringer.
Newton vertelt ons, dat wanneer op een lichaam geen netto kracht werkt, dit lichaam met constante snelheid door blijft bewegen. Alleen wanneer deze netto kracht ongelijk is aan nul zal het lichaam een versnelling ondergaan:
Hoe kunnen we nu deze netto kracht op een lichaam nog meer beschrijven? Elk lichaam heeft een bepaalde impuls p:
Deze impuls hangt dus zowel af van de massa van het lichaam, als van de snelheid ervan. Een lichaam waarop geen netto kracht werkt zal niet van snelheid veranderen en zijn impuls p zal dus behouden blijven. De zaak verandert echter als er wel een netto kracht op het lichaam gaat werken. Het lichaam ondergaat dan een versnelling (1) en het kan dus niet anders dan dat de impuls p ook moet veranderen (2). Dit laatste is het geval, omdat de massa van het lichaam natuurlijk constant blijft, zodat een verandering in de snelheid v altijd een verandering van de impuls van het lichaam tot gevolg heeft. We gaan nu dus kijken hoe zo’n verandering in de impuls geïnterpreteerd kan worden. We differentiëren daartoe de impuls p naar de tijd:
We zien een opmerkelijk resultaat; de afgeleide van de impuls van een lichaam naar de tijd blijkt precies gelijk te zijn aan de netto kracht die op dit lichaam werkt! Wanneer hebben we nu wat aan een dergelijke formule? Bekijk het volgende probleem: twee kogels, a en b, botsen op elkaar (zie de figuur). Kogel a is 2 kg en kogel b is 1 kg. Kogel a beweegt met 1 m/s naar rechts en kogel b beweegt met 2 m/s naar links.
Figuur: de elastische botsing
Vragen:
1 Bereken de snelheden van de kogels a en b na de botsing, als gegeven is dat kogel b na de botsing met 2 m/s naar rechts beweegt.
2 Van welke wet heb je bij je berekening gebruik gemaakt?
3 Toon aan, dat de botsing volledig elastisch is (er gaat geen energie verloren).
Hoe vindt nu precies zo’n botsing tussen 2 kogels plaats. De kogels zullen gedurende een bepaalde tijd contact met elkaar maken waarbij geldt dat de netto kracht op kogel a (= Fnetto-a ) even groot en tegengesteld gericht is aan de netto kracht op kogel b (= Fnetto-b ). De beide kogels oefenen dus een even grote maar tegengestelde kracht op elkaar uit tijdens de botsing. Er geldt dus "tijdens het botsen":
Vragen:
4 Als je naar (3) en (4) kijkt, kun je dan bedenken waarom de wet die je bij vraag 1 gebruikt hebt moet kloppen?
5 Geldt deze wet volgens deze redenatie ook wanneer de botsing niet elastisch is (er gaat dan energie verloren)?
In het voorafgaande hebben we gekeken naar wetten die kunnen worden toegepast op rechtlijnige bewegingen, ook wel translaties genoemd. We zullen nu gaan kijken of dergelijke wetten en grootheden ook op te zetten zijn voor draaibewegingen, ook wel rotaties genoemd.
We gaan daarom kijken naar een roterend lichaam (bijvoorbeeld de aarde). Bekijk nu in dit lichaam een puntmassa m die meedraait met de draaiing van het gehele lichaam. Deze puntmassa draait om de rotatie-as van het lichaam heen en voert dus eigenlijk een cirkelvormige beweging uit (zie figuur).
Figuur: cirkelvormige beweging
De puntmassa voert dus een cirkelvormige beweging uit. De hoeksnelheid w van het deeltje is constant, omdat de rotatiesnelheid van het gehele lichaam waarin de puntmassa is "ingepakt" niet verandert. De kortste afstand van de puntmassa tot de rotatie-as van het lichaam noemen we r. Voor de snelheid van de puntmassa langs de cirkelbaan geldt: v = w r.
We definiëren nu een nieuwe grootheid. Dit is het impulsmoment L. Later zal blijken dat L bij rotaties een vergelijkbare rol speelt als p bij translaties.
We vermenigvuldigen dus de impuls van deze puntmassa met de afstand r tot de rotatie – as. Wanneer we nu bijvoorbeeld de aarde opgebouwd zien uit allemaal puntmassa’s dan kunnen we het totale impulsmoment van de aarde berekenen door alle impulsmomenten van deze massa’s op te tellen.
Voorbeeld: fietswiel
Je zult je nu misschien afvragen wat het nut is van een dergelijke definitie als in (5). We zullen daar later in de tekst enkele toepassingen van zien. Eerst gaan we even kijken naar een voorbeeld met een fietswiel.
Figuur: fietswiel
Stel je voor dat het fietswiel met een constante snelheid rond draait.
Vraag:
6 Het fietswiel draait rond met een constante hoeksnelheid van 1.5 rad/s. de straal van het wiel is 0.5 m. De totale massa van het wiel is 3 kg. Bereken nu het totale impulsmoment van het wiel. Verwaarloos de dikte van de band en de massa van de spaken.
We hebben nu dus een grootheid L geïntroduceerd die een gelijke rol vervult als de impuls p bij translatie – bewegingen. Wat voor rol speelt dit impulsmoment L dan precies? We zagen eerder dat de afgeleide van de impuls de netto kracht op een lichaam opleverde. We gaan nu kijken wat er gebeurt wanneer we het impulsmoment L naar de tijd gaan afleiden.
Wat we zien is dat de afgeleide van L naar de tijd gelijk is aan de netto kracht op de puntmassa maal de afstand van de massa tot de rotatie – as van het lichaam. Deze afgeleide is dus gelijk aan het netto moment, dat op deze massa werkt (netto kracht maal loodrechte afstand tot rotatiepunt). Nu zien we dus een parallel ontstaan met de afgeleide van de impuls p bij translaties.
Zoals er een netto kracht moet werken als de impuls van een lichaam verandert, moet er een netto moment werken op een lichaam als zijn impulsmoment L verandert.
Zoals we impuls ruwweg kunnen beschouwen als "hoeveelheid verplaatsing" van een lichaam, kunnen we impulsmoment ruwweg beschouwen als de "hoeveelheid draaiing" van een lichaam.
Vraag:
7 Laten we nog eens kijken naar het wiel uit vraag 6. Stel we monteren het wiel in de voorvork van een fiets. Met de hand oefenen we gedurende een bepaalde tijd een moment uit op het wiel, zodat het gaat draaien met een bepaalde hoeksnelheid w . Vervolgens vullen we het wiel met water, zodat het geen 3 maar 6 kg weegt. Nu oefenen we precies even lang weer een moment uit op het wiel. Beredeneer hoe groot de nu bereikte hoeksnelheid van het wiel is. Ga ervan uit dat al het water in het wiel netjes met het wiel mee gaat draaien (!).
We hebben al gezien dat bij translaties de totale impuls behouden blijft wanneer twee lichamen alleen een kracht op elkaar uitoefenen en er verder geen krachten op deze lichamen werken. Is zo’n behoudswet er nu ook voor rotaties, zul je je misschien afvragen. Dit zou betekenen dat als twee lichamen een moment op elkaar uitoefenen, het totale impulsmoment van de twee lichamen bij elkaar opgeteld, behouden blijft. Dat dit inderdaad het geval is zullen we nog zien in een voorbeeld.
Discussievraag:
Wat moet gelden voor de twee momenten die de lichamen op elkaar uitoefenen, wanneer het totale impulsmoment van de twee lichamen behouden blijft?
Tips:
Vergelijk netto moment bij dit geval met netto kracht bij de wet voor impulsbehoud.
Oftewel: wat geldt er ook alweer voor de twee netto krachten, die de twee kogels tijdens het botsen op elkaar uitoefenden?
Voorbeeld: de schoonspringer
Figuur: de schoonspringer
Bij schoonspringen is van alle mogelijke rotaties van het menselijk lichaam sprake. We gaan nu kijken of we datgene, wat we geleerd hebben over rotaties en impulsmoment kunnen toepassen op een dergelijk voorbeeld.
Wat gebeurt er als een schoonspringer afzet van de duikplank? Zijn lichaam heeft na de afzet geen contact meer met de plak en er werkt dus geen netto moment meer op het lichaam van de schoonspringer. Het gevolg hiervan moet zijn dat dL/dt gelijk is aan nul. We zeggen nu dat het impulsmoment L behouden is tijdens de vlucht van de schoonspringer.
Vragen:
Stel, de schoonspringer is nog niet zo ervaren, en wil slechts een enkele salto voorover gaan maken. Hij zorgt er daarom voor dat hij na de afzet een beetje draaiing voorover heeft (L is dus ongelijk aan 0). In de lucht maakt hij zich zo klein mogelijk en hij merkt dat hij daardoor veel harder gaat draaien, zodat hij uiteindelijk precies met zijn gezicht op het water valt.
8 Als je bedenkt dat L gedurende de sprong constant is geweest, kun je dan toch verklaren waarom deze schoonspringer harder ging draaien door zich klein te maken? (Kijk goed naar de definitie van L!!).
9 Stel, het impulsmoment L van de schoonspringer is precies nul na de afzet. Is het voor hem nu toch mogelijk een salto voorover te maken?
Bij de laatste vraag heb je waarschijnlijk geantwoord, dat het niet mogelijk is een salto voorover te maken, wanneer L na de afzet gelijk is aan nul. Als je zelf wel is van een duikplank gesprongen bent weet je misschien, dat je vaak je armen gebruikt om te voorkomen dat je gaat draaien. Hoe zit dat nu precies?
Stel je zet af van de duikplank en je merkt dat je langzaam voorover draait. Je reactie zal zijn dat je je armen naar voren gaat draaien. Hierdoor stopt je lichaam met voorover draaien. Houd je echter weer op met draaien met je armen, dan zal de rest van je lichaam toch weer verder gaan draaien, het impulsmoment L is dus nog steeds wel behouden.
In de situatie van de laatste vraag van het vorige blad kan de schoonspringer dus heel hard zijn armen achterover gaan draaien, zodat de rest van zijn lichaam een rondje voorover maakt. Wanneer hij dan weer stopt met zijn armen draaien stopt ook de rest van zijn lichaam weer met draaien, en blijkt het impulsmoment dus nog steeds nul te zijn. Dat is trouwens de gehele vlucht het geval geweest. Door zijn armen een impulsmoment te geven, heeft de rest van zijn lichaam een even groot en tegengesteld impulsmoment de andere kant op ontwikkeld, zodat het totale impulsmoment steeds precies gelijk bleef aan nul. Heeft de schoonspringer nu eigenlijk toch een salto voorover gemaakt? Tja, daar valt over te twisten, zijn lichaam heeft inderdaad een rondje voorover gedraaid, maar zijn armen hebben natuurlijk rondjes achterover gedraaid, dus om nu te zeggen dat zijn hele lichaam een salto heeft gemaakt….
Discussievraag:
Heeft de schoonspringer door zijn armen te gebruiken nu werkelijk een salto gemaakt of toch niet??
Vragen tekst na 14 dagen:
1 Differentieer de impuls p naar de tijd. Wat is dp/dt?
2 Is de wet van behoud van impuls altijd geldig bij botsingen tussen deeltjes, waarop verder geen externe krachten werken?
3 Wat is de definitie van het impulsmoment L?
4 Wanneer is het impulsmoment van een lichaam behouden?