Lineaire Algebra - Week 10
Op deze bladzijde:- Samenvatting hoorcollege
- Voorbereiding werkcollege
- Huiswerkopgaven
Naast 2 uur hoorcollege en 2 uur werkcollege heb je dus 4 uur voor voorbereiding en afronding. Besteed deze goed!
Samenvatting, voorbereiding werkcollege
We maken deze week een begin met Hoofdstuk 10 uit het boek. Hierin wordt het begrip inproductruimte geintroduceerd. Een inproductruimte is een vectorruimte V waarop een inproduct is gedefinieerd. Een inproduct is een afbeelding die voldoet aan de inproductaxioma's. Een bekend voorbeeld van een inproduct is het standaardinproduct op R^n dat we al tegenkwamen in de opgaven van week 01.Echter, er zijn veel meer inproducten van het standaardinproduct - net zoals er veel meer basissen zijn dan de standaardbasis. Ook op polynoomruimten en matrixruimten is het mogelijk inproducten te definieren. Inproducten geven aanleiding tot het begrip loodrechtheid, ook wel orthogonaliteit genaamd.
In Sectie 6.1 wordt het (standaard)inproduct op R^n bekeken, en worden afgeleide begrippen als lengte en hoek en afstand gedefinieerd. De Stelling van Pythagoras passeert de revue, en zo ook het orthogonale complement van een deelruimte. Op dit moment heeft de argeloze lezer nog niet in de gaten dat al deze begrippen zullen worden gegeneraliseerd middels axioma's!
Oefenopgaven uit Sectie 6.1: 5, 7, 17.
Dit wordt pas duidelijk als we doorbladeren naar Sectie 6.7. Hierin worden de eigenschappen} van het standaardinproduct op R^n uit Stelling 1 op p.392 als uitgangspunt genomen om het begrip inproduct axiomatisch te definieren. Zie de definitie op p. 444. Met deze definitie kunnen we nu ook inproducten defini\"eren op vectorruimtes zoals de ruimte C(I) van continue functies op een interval I (zie voorbeeld 7 op p. 450).
Oefenopgaven uit Sectie 6.7: 3, 5, 13.
Met behulp van abstracte inproducten kunnen we nu dus ook de norm van een continue functie definieren, of de afstand tussen twee matrices uit een matrixruimte, of het orthogonale complement van een deelruimte van polynomen. Wat we hieraan hebben zal ook (hopelijk) duidelijk worden.
In Sectie 6.2 worden, in de context van het standaardinproduct op R^n, enkele begrippen gedefinieerd die ook in andere inproductruimten dezelfde terminologie dragen, zoals orthogonale basis, orthonormale basis, orthogonale projectie. Een orthogonale matrix is echter weer typisch iets in de context van R^n.
Oefenopgaven uit Sectie 6.2: 11, 27, 29, 33.
De volgende pdf werd aan het begin van het hoorcollege van week 11 vertoond als snelle samenvatting van week 10:
<-- samenvatting week 10
| bordfoto's op picasaweb | XX |
Huiswerkopgaven
Op het werkcollege ga je aan de slag met de volgende opgaven:- <-- huiswerkopgaven week 10